4. Найти угол между касательной к графику функции \(y=x^4-2x^2+3\) в точке с абсциссой \(x_0=\frac{1}{2}\) и осью \(Ox\).

Угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания. Находим производную: \(y'=4x^3-4x\).

Вычисляем коэффициент при \(x_0=\frac{1}{2}\): \(k=4\left(\frac{1}{2}\right)^3-4\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}\).

Для угла наклона \(\alpha\), отсчитываемого от положительного направления оси \(Ox\) в пределах \(0<\alpha<\pi\), выполняется \(\tan\alpha=k\). Поэтому \(\alpha=\pi-\arctan\frac{3}{2}\approx 123.69^\circ\).

Ответ: \(\alpha=\pi-\arctan\frac{3}{2}\approx 123.69^\circ\).