4. Найти угол между касательной к графику функции \(y=x^4-2x^3+3\) в точке с абсциссой \(x_0=\frac{1}{2}\) и осью \(Ox\).

Угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания:

\[y'=4x^3-6x^2,\qquad k=y'\left(\frac12\right)=4\cdot\frac18-6\cdot\frac14=-1.\]

Угол наклона прямой к положительному направлению оси \(Ox\) удовлетворяет \(\tan\alpha=k\), где \(0<\alpha<\pi\). Поэтому \(\tan\alpha=-1\), откуда \(\alpha=\frac{3\pi}{4}=135^\circ\). Меньший угол между касательной и осью равен \(\frac{\pi}{4}=45^\circ\).

Ответ: угол наклона касательной — \(135^\circ\); меньший угол между прямыми — \(45^\circ\).