4. Найти все решение неравенства 2 + tg x > 0 на промежутке [-2π; -π].

Решение:

1. Преобразуем неравенство: \( \text{tg } x > -2 \)
2. Найдём значение \( x \) при котором \( \text{tg } x = -2 \). Это значение равно \( \text{arctg}(-2) \).
3. Период функции \( \text{tg } x \) равен \( \pi \).
4. Общий вид решения неравенства \( \text{tg } x > -2 \) : \( \text{arctg}(-2) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k \), где k — целое число.
5. Рассмотрим промежуток \( [-2\pi; -\pi] \).
6. Подставим значения k, чтобы найти решения на данном промежутке:
   • При k = -1: \( \ ext{arctg}(-2) - \pi < x < \frac{\pi}{2} - \pi \) \( \Rightarrow \) \( \text{arctg}(-2) - \pi < x < -\frac{\pi}{2} \).
   • При k = -2: \( \text{arctg}(-2) - 2\pi < x < \frac{\pi}{2} - 2\pi \) \( \Rightarrow \) \( \text{arctg}(-2) - 2\pi < x < -\frac{3\pi}{2} \).
7. Сравним полученные интервалы с заданным промежутком \( [-2\pi; -\pi] \).
8. Интервал \( \text{arctg}(-2) - \pi < x < -\frac{\pi}{2} \) находится внутри \( [-2\pi; -\pi] \), так как \( -\pi < -\frac{\pi}{2} < -\pi \) и \( -2\pi < \text{arctg}(-2) - \pi < -\pi \) (так как \( \text{arctg}(-2) \) находится между \( -\frac{\pi}{2} \) и 0).
9. Интервал \( \text{arctg}(-2) - 2\pi < x < -\frac{3\pi}{2} \) находится внутри \( [-2\pi; -\pi] \), так как \( -2\pi < -\frac{3\pi}{2} < -\pi \) и \( -2\pi < \text{arctg}(-2) - 2\pi < -2\pi \) (что неверно, \( \text{arctg}(-2) - 2\pi \) будет больше \(-2\pi\)).
10. Таким образом, решение на промежутке \( [-2\pi; -\pi] \) будет \( \text{arctg}(-2) - 2\pi < x < -\frac{3\pi}{2} \).

Ответ: \( (\text{arctg}(-2) - 2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \cup (\text{arctg}(-2) - \pi; -\frac{\pi}{2}) \)