4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними — 120°. Площадь треугольника равна 28 см². Найдите периметр треугольника.

Пусть меньшая из двух сторон равна \(x\) см, тогда другая равна \(x+8\) см. Используем формулу площади через две стороны и угол между ними:

\(28=\frac12x(x+8)\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{4}x(x+8)\).

Отсюда \(x(x+8)=\frac{112}{\sqrt3}\), поэтому положительный корень уравнения равен \(x=\frac{-8+\sqrt{64+448/\sqrt3}}{2}\approx4.982\) см. Вторая сторона равна примерно \(12.982\) см.

По теореме косинусов квадрат третьей стороны равен \(x^2+(x+8)^2-2x(x+8)\cos120^\circ=x^2+(x+8)^2+x(x+8)\). Следовательно, третья сторона приблизительно равна 16.062 см.

Периметр: \(4.982+12.982+16.062\approx34.025\) см.

Ответ: периметр приблизительно равен 34.02 см.