4. Окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке B. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку B, пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке A. Найдите радиус второй окружности, если AB = 6.

Обозначим радиус второй окружности через r, а центры окружностей — через O и O₁. При внешнем касании точки B, центры и радиусы, проведённые в точку касания, лежат на одной прямой.

Пусть вторая общая касательная пересекает линию центров в точке C. Радиусы к касательным перпендикулярны, поэтому прямоугольные треугольники с вершиной C подобны. Из подобия следует отношение расстояний от C до центров: CO : CO₁ = 4 : r. При этом расстояние между центрами равно 4 + r, а AB = 6 — отрезок касательной от B до A. Прямоугольный треугольник, образованный расстоянием между центрами и отрезком AB, даёт AB² = (4+r)² − (4−r)² = 16r.

Подставим AB=6: 36=16r, откуда r=9/4.

Ответ: 9/4.