6. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK.

Пусть M — середина AC, так как BM — медиана, а K — середина BM. Возьмём координаты A=(0,0), C=(2,0), B=(u,v), где v≠0. Тогда M=(1,0), K=(u/2,v/2).

Точка P лежит на прямой AK и на стороне BC. На AK она имеет вид P=tK=(tu/2,tv/2). На BC точка с параметром s имеет координаты (u+s(2-u),v(1-s)). Сравнение координат даёт s=1/2 и t=1, то есть P=K.

Следовательно, при данных формулировки точка P совпадает с K, а «четырёхугольник KPCM» вырождается: его вершины K и P совпадают. Его площадь равна нулю, тогда как площадь треугольника AMK ненулевая.

Ответ: 0.