4. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Решение:

1. Найдем второй катет прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 20^2 + b^2 = 25^2 \] \[ 400 + b^2 = 625 \] \[ b^2 = 625 - 400 \] \[ b^2 = 225 \] \[ b = \sqrt{225} = 15 \] см.
2. Площадь основания призмы \( S_{осн} \): \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150 \] см².
3. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики, значит, площадь меньшей боковой грани равна 150 см². Так как основание — прямоугольный треугольник, то боковые грани — прямоугольники. Меньшая боковая грань имеет наименьший катет основания (15 см) в качестве одной из сторон. Пусть высота призмы равна \( H \). Тогда площадь меньшей боковой грани \( S_{мин.гран.} = 15 \cdot H \).
4. Найдём высоту призмы: \( 15 \cdot H = 150 \) см², откуда \( H = \frac{150}{15} = 10 \) см.
5. Площадь боковой поверхности призмы \( S_{бок.} \) равна произведению периметра основания на высоту призмы. Периметр основания \( P_{осн.} \): \( P_{осн.} = a + b + c = 20 + 15 + 25 = 60 \) см.
6. \[ S_{бок.} = P_{осн.} \cdot H = 60 \cdot 10 = 600 \] см².
7. Площадь полной поверхности призмы \( S_{полн.} \) равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: \[ S_{полн.} = S_{бок.} + 2 \cdot S_{осн.} = 600 + 2 \cdot 150 = 600 + 300 = 900 \] см².

Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна 600 см², площадь полной поверхности призмы равна 900 см².