4. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона равна 15 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC.
• Основание AB = 18 см.
• Боковая сторона AC = BC = 15 см.

Найти:

• Радиус вписанной окружности (r).
• Радиус описанной окружности (R).

Решение:

1. Найдем высоту треугольника: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Опустим высоту CD на основание AB. D — середина AB, поэтому AD = DB = 18/2 = 9 см.
2. В прямоугольном треугольнике ADC, по теореме Пифагора: CD² = AC² - AD² = 15² - 9² = 225 - 81 = 144.
3. CD = √144 = 12 см. Высота треугольника равна 12 см.
4. Найдем площадь треугольника (S): S = 1/2 * основание * высота = 1/2 * 18 * 12 = 108 см².
5. Найдем полупериметр треугольника (p): p = (AB + AC + BC) / 2 = (18 + 15 + 15) / 2 = 48 / 2 = 24 см.
6. Найдем радиус вписанной окружности (r): Формула: r = S / p.
7. r = 108 / 24 = 4.5 см.
8. Найдем радиус описанной окружности (R): Формула: R = (a * b * c) / (4 * S), где a, b, c — стороны треугольника.
9. R = (18 * 15 * 15) / (4 * 108) = 4050 / 432 = 9.375 см.

Ответ: Радиус вписанной окружности r = 4.5 см, радиус описанной окружности R = 9.375 см.