4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 м и 8 м, высота призмы равна 10 м. Найдите площадь сечения, проходящей через боковое ребро призмы и высоту основания, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Дано:

• Прямая треугольная призма.
• Основание – прямоугольный треугольник с катетами a = 6 м, b = 8 м.
• Высота призмы H = 10 м.

Найти: Площадь сечения, проходящего через боковое ребро призмы и высоту основания, опущенную из вершины прямого угла на гипотенузу.

Решение:

1. Определение основания: Основание призмы – прямоугольный треугольник. Обозначим его ABC, где угол C = 90°, AC = 6 м, BC = 8 м.
2. Вычисление гипотенузы: По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы AB:

AB² = AC² + BC²

AB² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

AB = \sqrt{100} = 10 м.

Вычисление высоты основания (h_c): Высота, опущенная из вершины прямого угла C на гипотенузу AB (обозначим ее CD), может быть найдена по формуле площади треугольника:

Площадь треугольника ABC = \frac{1}{2} ⋅ AC ⋅ BC = \frac{1}{2} ⋅ 6 м ⋅ 8 м = 24 м².

Также площадь равна \frac{1}{2} ⋅ AB ⋅ CD.

24 м² = \frac{1}{2} ⋅ 10 м ⋅ CD

CD = \frac{24 \cdot 2}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 м.

Описание сечения: Сечение проходит через боковое ребро призмы и высоту основания CD. Пусть боковое ребро будет AA₁ (где A₁ лежит над A). Сечение будет представлять собой прямоугольник ACDA₁, где CD – одна сторона, а AA₁ – другая.

Определение размеров сечения: Длина одной стороны сечения равна высоте основания CD = 4.8 м. Длина другой стороны сечения равна высоте призмы AA₁ = H = 10 м.

Вычисление площади сечения: Площадь прямоугольника ACDA₁ равна произведению его сторон.

S_{сечения} = CD ⋅ AA₁

S_{сечения} = 4.8 м ⋅ 10 м = 48 м².

Ответ: 48 м²