4) Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр 56. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания равнобедренной трапеции равны \( a = 8 \) и \( b = 18 \). Периметр \( P = 56 \).

Обозначим боковую сторону трапеции через \( c \). Так как трапеция равнобедренная, обе боковые стороны равны \( c \).

Периметр трапеции равен сумме длин всех ее сторон:

\( P = a + b + 2c \)

Подставим известные значения:

\( 56 = 8 + 18 + 2c \)

\( 56 = 26 + 2c \)

\( 2c = 56 - 26 \)

\( 2c = 30 \)

\( c = 15 \)

Теперь найдем высоту трапеции \( h \). Опустим из вершины меньшего основания высоты на большее основание. Получим два прямоугольных треугольника. Основание каждого такого треугольника будет равно \( \frac{b-a}{2} = \frac{18-8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).

В прямоугольном треугольнике катеты — это высота \( h \) и половина большего основания (5), а гипотенуза — боковая сторона \( c = 15 \).

По теореме Пифагора:

\( h^2 + 5^2 = 15^2 \)

\( h^2 + 25 = 225 \)

\( h^2 = 225 - 25 \)

\( h^2 = 200 \)

\( h = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} \)

Теперь найдем площадь трапеции по формуле:

\( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \)

\( S = \frac{8+18}{2} \cdot 10\sqrt{2} \)

\( S = \frac{26}{2} \cdot 10\sqrt{2} \)

\( S = 13 \cdot 10\sqrt{2} \)

\( S = 130\sqrt{2} \)

Ответ: 130\(\sqrt{2}\).