4. Отрезки АЕ и CD пересекаются в общей середине-Т. Доказать равенство треугольников АСЕ и DAE;

Решение:

Дано: Отрезки АЕ и CD пересекаются в точке Т. Т — середина АЕ и CD.

Доказать: \( \triangle ACE = \triangle DAE \).

Доказательство:

1. По условию, Т — середина АЕ, значит \( AT = TE \).
2. По условию, Т — середина CD, значит \( CT = TD \).
3. Углы ∠ATC и ∠ETD равны как вертикальные.
4. Следовательно, \( \triangle ATC = \triangle ETD \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства этих треугольников следует, что \( AC = ED \) и \( \angle CAT = \angle DET \) и \( \angle ACT = \angle EDT \).
6. Рассмотрим треугольники ACE и DAE.
7. У них сторона AE — общая.
8. Мы уже доказали, что \( AC = ED \).
9. Угол ∠CAE равен углу ∠DEA (так как \( \angle CAT = \angle DET \) и они являются частью этих углов).
10. Таким образом, \( \triangle ACE = \triangle DAE \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: сторона AE, сторона AC = ED, угол ∠CAE = ∠DEA).

Что и требовалось доказать.