4) Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ=16, DC=24, AC=25.

Решение:

Рассмотрим \( \triangle ABM \) и \( \triangle CDM \).

1. \( \angle BAM = \angle DCM \) как накрест лежащие при параллельных прямых \( AB \) и \( DC \) и секущей \( AC \).

2. \( \angle ABM = \angle CDM \) как накрест лежащие при параллельных прямых \( AB \) и \( DC \) и секущей \( BD \).

3. \( \angle AMB = \angle CMD \) как вертикальные углы.

Следовательно, \( \triangle ABM \sim \triangle CDM \) по двум углам (или по трём).

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

\[ \frac{AB}{CD} = \frac{AM}{CM} = \frac{BM}{DM} \]

Нам известно, что \( AB = 16 \) и \( CD = 24 \).

Отношение подобия \( k = \frac{AB}{CD} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \).

Мы также знаем, что \( AC = 25 \). Отрезок \( AC \) состоит из отрезков \( AM \) и \( MC \): \( AC = AM + MC \).

Из отношения подобия имеем:

\[ \frac{AM}{CM} = \frac{2}{3} \]

Выразим \( AM \) через \( CM \): \( AM = \frac{2}{3} CM \).

Подставим это в уравнение \( AC = AM + MC \):

\[ 25 = \frac{2}{3} CM + CM \]

\[ 25 = CM \left( \frac{2}{3} + 1 \right) \]

\[ 25 = CM \left( \frac{2+3}{3} \right) \]

\[ 25 = CM \left( \frac{5}{3} \right) \]

Теперь найдём \( MC \):

\[ MC = 25 \cdot \frac{3}{5} \]

\[ MC = 5 \cdot 3 \]

\[ MC = 15 \]

Ответ: \( MC = 15 \).