Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Задание 4. Длина среднего отрезка
Обозначим три неравных отрезка как a, b и c. Их общая длина равна 45 см:
\[ a + b + c = 45 \]
Пусть a — первый (крайний) отрезок, b — средний, а c — третий (крайний) отрезок.
Середина первого отрезка находится на расстоянии \( \frac{a}{2} \) от его начала.
Середина третьего отрезка находится на расстоянии \( b + \frac{c}{2} \) от начала отрезка a.
Расстояние между серединами крайних отрезков равно 28 см:
\[ \left( b + \frac{c}{2} \right) - \frac{a}{2} = 28 \]
Также мы знаем, что \( a + b + c = 45 \). Из этого следует, что \( a + c = 45 - b \).
Умножим второе уравнение на 2:
\[ 2b + c - a = 56 \]
Перепишем первое уравнение, выразив \( c \): \( c = 45 - a - b \).
Подставим это в уравнение \( 2b + c - a = 56 \):
\[ 2b + (45 - a - b) - a = 56 \]
\[ 2b + 45 - 2a - b = 56 \]
\[ b - 2a + 45 = 56 \]
\[ b - 2a = 11 \]
Теперь перепишем уравнение \( a + b + c = 45 \) как \( a + c = 45 - b \).
И уравнение \( \left( b + \frac{c}{2} \right) - \frac{a}{2} = 28 \) как \( b + \frac{c-a}{2} = 28 \) или \( 2b + c - a = 56 \).
Из \( a+b+c=45 \) следует \( c = 45-a-b \).
Подставим \(c\) в \( 2b + c - a = 56 \):
\[ 2b + (45-a-b) - a = 56 \]
\[ b + 45 - 2a = 56 \]
\[ b - 2a = 11 \]
Из \( a+b+c=45 \) следует \( a = 45 - b - c \).
Подставим \(a\) в \( 2b + c - a = 56 \):
\[ 2b + c - (45-b-c) = 56 \]
\[ 2b + c - 45 + b + c = 56 \]
\[ 3b + 2c - 45 = 56 \]
\[ 3b + 2c = 101 \]
Сложим \( a+b+c=45 \) и \( 2b+c-a=56 \):
\[ (a+b+c) + (2b+c-a) = 45 + 56 \]
\[ 3b + 2c = 101 \]
Из \( a + b + c = 45 \), выразим \( a+c = 45-b \).
Рассмотрим расстояние между серединами крайних отрезков. Это расстояние равно длине среднего отрезка плюс половина длины первого отрезка плюс половина длины третьего отрезка. То есть, \( b + \frac{a}{2} + \frac{c}{2} = 28 \).
Умножим это уравнение на 2:
\[ 2b + a + c = 56 \]
Мы знаем, что \( a + b + c = 45 \), из этого следует \( a + c = 45 - b \).
Подставим \( a+c \) в уравнение \( 2b + a + c = 56 \):
\[ 2b + (45 - b) = 56 \]
\[ 2b + 45 - b = 56 \]
\[ b + 45 = 56 \]
\[ b = 56 - 45 \]
\[ b = 11 \]
Итак, длина среднего отрезка равна 11 см.
Рисунок:
Ответ: 11 см
