4. Перечислите свойства корня натуральной степени. Приведите примеры.

Для натурального показателя корня выполняются следующие свойства (в действительных числах):

1. Корень из произведения равен произведению корней: при чётном n подкоренные множители должны быть неотрицательными. Например, \(\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt4\cdot\sqrt9=6\).

2. Корень из частного равен частному корней: знаменатель подкоренного выражения должен быть положительным при чётном n и ненулевым при любом n. Например, \(\sqrt{36/4}=\sqrt{36}/\sqrt4=3\).

3. Корень из корня можно объединить, перемножив показатели: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\) при допустимых значениях. Например, \(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\).

4. Корень из степени: \(\sqrt[n]{a^n}=|a|\) при чётном n и \(\sqrt[n]{a^n}=a\) при нечётном n. Например, \(\sqrt{(-5)^2}=5\), а \(\sqrt[3]{(-5)^3}=-5\).