4. Перед началом партии в шашки Вася бросает монетку, чтобы определить, кто из игроков начнёт игру. Вася играет четыре партии с разными игроками. Найдите вероятность того, что в этих партиях Вася выиграет жребий ровно один раз.

Решение:

При каждом броске монеты есть два исхода: орел или решка. Вероятность выпадения орла (или решки) равна \(\frac{1}{2}\). Пусть для начала игры Васе нужно, чтобы выпал орел. Вероятность выигрыша жребия в одной партии равна \( P(1) = \frac{1}{2} \). Вероятность проигрыша жребия в одной партии равна \( P(0) = \frac{1}{2} \).

Вася играет 4 партии. Нам нужно найти вероятность того, что он выиграет жребий ровно один раз. Это задача на биномиальное распределение. Формула Бернулли: \( P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \), где \( n \) — число испытаний, \( k \) — число успехов, \( p \) — вероятность успеха, \( q \) — вероятность неудачи, \( C_n^k \) — число сочетаний.

В данном случае: \( n = 4 \) (4 партии), \( k = 1 \) (выиграет ровно 1 раз), \( p = \frac{1}{2} \) (вероятность выигрыша жребия), \( q = \frac{1}{2} \) (вероятность проигрыша жребия).

Число сочетаний \( C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times (3 \times 2 \times 1)} = 4 \).

Вероятность того, что Вася выиграет ровно один раз: \( P(1) = C_4^1 \cdot (\frac{1}{2})^1 \cdot (\frac{1}{2})^{4-1} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^3 = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \).

Переведём в десятичную дробь: \(\frac{1}{4} = 0.25\).

Ответ: 0.25