4. Плоскость α проходит через катет ВС прямоугольного треугольника ABC, AC + BC = 17, AC - BC = 7. Угол между прямой AB и плоскостью α равен 45°. Найдите расстояние от точки А до плоскости α.

1. Решим систему уравнений: AC + BC = 17, AC - BC = 7. Сложив уравнения, получим 2AC = 24, AC = 12. Тогда BC = 17 - 12 = 5.
2. Пусть AH - перпендикуляр из A на плоскость α. Так как плоскость α проходит через BC, то AH ⊥ BC. Угол между AB и плоскостью α равен 45°, значит, ∠ABH = 45°. В прямоугольном треугольнике ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169. AB = 13.
3. В прямоугольном треугольнике ABH: AH = AB * sin(∠ABH) = 13 * sin(45°) = 13 * (√2/2) = 13√2/2.