4. Плоскость, проходящая через точки A, B и C (см. рис.), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с большим числом граней? Постройте сечение тетраэдра через три заданные точки и ответьте на вопрос.

По рисунку точка A находится внутри грани основания, а точки B и C — на двух рёбрах, исходящих из одной вершины тетраэдра. Плоскость через A, B и C пересекает тетраэдр по треугольнику ABC; третья точка пересечения с границей лежит на ребре основания напротив вершины, общей для рёбер с точками B и C. Обозначим её D.

Получаются два многогранника: один отсечён у вершины, общей рёбрам с B и C; другой содержит три остальные вершины тетраэдра. У второго многогранника три исходные вершины и три точки пересечения плоскости с рёбрами, итого 6 вершин. Он имеет больше граней: 5 граней против 4 у отсечённого многогранника.

Ответ: 6 вершин.