4. Плоскость, проходящая через точки F, P и Q (см. рис.), рассекает тетраэдр. Какой многоугольник получается в сечении? Постройте сечение тетраэдра через три заданные точки, опишите шаги построения и ответьте на вопрос.

На рисунке P лежит на ребре AD, Q — на ребре DC, а F находится внутри грани ABC. Точные положения точек на рёбрах не заданы, поэтому вид сечения зависит от того, где след плоскости через F пересекает стороны треугольника ABC.

1. Проведите PQ. Это след секущей плоскости на грани ADC.
2. Постройте R = PQ ∩ AC, продолжив прямые при необходимости. Точка R принадлежит секущей плоскости и плоскости ABC.
3. Проведите FR. Прямая FR — след секущей плоскости на плоскости основания ABC.
4. Отметьте пересечения FR со сторонами треугольника ABC. Соедините полученные точки с P и Q по соответствующим граням тетраэдра.

Сечение имеет три или четыре стороны: если след FR пересекает две стороны основания, не являющиеся одной и той же стороной, получается четырёхугольник; если одна из точек пересечения совпадает с вершиной основания или пересечение приходится на сторону, общей с гранью ADC, возможно треугольное сечение. По схематическому рисунку без точного положения F, P и Q однозначно установить конкретный многоугольник нельзя.

Ответ: построение выполняется по следам PQ и FR; для точного определения числа сторон нужны точные положения заданных точек.