4. Побудуйте графік функції y = (48 - 8x - 16x²) / (2x³ + x² - 6x)

Розв'язання:

Для побудови графіка функції \( y = \frac{48 - 8x - 16x^2}{2x^3 + x^2 - 6x} \) спочатку спростимо вираз.

1. Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

Чисельник:

\[ 48 - 8x - 16x^2 = -16x^2 - 8x + 48 \].

Винесемо спільний множник -8:

\[ -8(2x^2 + x - 6) \].

Знайдемо корені квадратного тричлена \( 2x^2 + x - 6 = 0 \) за допомогою дискримінанта:

\[ D = 1^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49 \].

\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \].

\[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \].

Отже, \( 2x^2 + x - 6 = 2(x - \frac{3}{2})(x - (-2)) = (2x - 3)(x + 2) \).

Чисельник: \( -8(2x - 3)(x + 2) \).

Знаменник:

\[ 2x^3 + x^2 - 6x \].

Винесемо спільний множник \( x \):

\[ x(2x^2 + x - 6) \].

Ми вже знайшли корені \( 2x^2 + x - 6 \): \( \frac{3}{2} \) і \( -2 \).

Отже, знаменник: \( x(2x - 3)(x + 2) \).

2. Спростимо функцію:

\[ y = \frac{-8(2x - 3)(x + 2)}{x(2x - 3)(x + 2)} \].

При \( x \neq \frac{3}{2} \) та \( x \neq -2 \) функція спрощується до:

\[ y = \frac{-8}{x} \].

3. Визначимо область визначення функції:

Знаменник не дорівнює нулю:

\[ x(2x - 3)(x + 2) \neq 0 \].

Це означає, що \( x \neq 0 \), \( 2x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{2} \), та \( x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \).

Отже, область визначення: \( D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; \infty) \).

4. Побудова графіка:

Графіком функції \( y = \frac{-8}{x} \) є гіпербола. Однак, через те, що \( x \neq -2 \) та \( x \neq \frac{3}{2} \), на графіку \( y = \frac{-8}{x} \) будуть вертикальні проколи (видалені точки) в цих значеннях \( x \).

Точки проколів:

• При \( x = -2 \): \( y = \frac{-8}{-2} = 4 \). Точка проколу: \( (-2; 4) \).
• При \( x = \frac{3}{2} = 1.5 \): \( y = \frac{-8}{1.5} = \frac{-8}{3/2} = -8 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{16}{3} \approx -5.33 \). Точка проколу: \( (1.5; -16/3) \).

Графік функції \( y = -\frac{8}{x} \):

Це гіпербола, яка розташована в другому та четвертому квадрантах. Асимптоти: вісь \( y \) ( \( x=0 \) ) та вісь \( x \) ( \( y=0 \) ).

Відображення проколів:

На гіперболі \( y = -\frac{8}{x} \) слід позначити виколоті точки \( (-2; 4) \) та \( (1.5; -16/3) \).

Відповідь: Графіком функції є гіпербола \( y = -\frac{8}{x} \) з виколотими точками в \( (-2; 4) \) та \( (1.5; -16/3) \).