Ответ:

Главные члены: радуга — подлежащее, появилась — сказуемое.

Части речи: после — предлог; дождя — имя существительное; в — предлог; небе — имя существительное; появилась — глагол; разноцветная — имя прилагательное; радуга — имя существительное.