4. Построить график №2

Построение графика

Для построения графика функции \( y = \frac{x}{x^2-4} \) (предполагая, что это график №2) выполним следующие шаги:

1. Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю, \( x^2-4 \neq 0 \), значит \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).
2. Нули функции: \( y=0 \) когда \( x=0 \).
3. Вертикальные асимптоты: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).
4. Горизонтальные/Наклонные асимптоты: Так как степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2), горизонтальная асимптота \( y = 0 \).
5. Промежутки монотонности и экстремумы: Найдем первую производную.

\( y' = \frac{(x)'(x^2-4) - x(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \frac{1(x^2-4) - x(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{x^2-4 - 2x^2}{(x^2-4)^2} = \frac{-x^2-4}{(x^2-4)^2} = -\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2} \)

Производная \( y' \) всегда отрицательна, так как \( x^2+4 > 0 \) и \( (x^2-4)^2 > 0 \) для всех \( x \) из области определения. Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

График:

Ответ: График построен с учетом асимптотот и точек пересечения с осями.