f(x) + f'(1) = ?

Решение:

Для решения этой задачи необходимо найти значение функции \( f(x) \) и ее производной \( f'(x) \) в точке \( x=1 \).

Условие для f(x) неполное, невозможно вычислить f(1).

Если предположить, что f(x) = \( (5x^2-3)\sqrt{3x+2} \)

1. Найдем f(1):

\( f(1) = (5(1)^2-3)\sqrt{3(1)+2} = (5-3)\sqrt{5} = 2\sqrt{5} \)

2. Найдем f'(x):

Используем правило произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = 5x^2-3 \) и \( v = \sqrt{3x+2} = (3x+2)^{1/2} \).

\( u' = 10x \)

\( v' = \frac{1}{2}(3x+2)^{-1/2} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+2}} \)

\( f'(x) = 10x \cdot \sqrt{3x+2} + (5x^2-3) \cdot \frac{3}{2\sqrt{3x+2}} \)

3. Найдем f'(1):

\( f'(1) = 10(1) \cdot \sqrt{3(1)+2} + (5(1)^2-3) \cdot \frac{3}{2\sqrt{3(1)+2}} \)

\( f'(1) = 10 \cdot \sqrt{5} + (5-3) \cdot \frac{3}{2\sqrt{5}} = 10\sqrt{5} + 2 \cdot \frac{3}{2\sqrt{5}} = 10\sqrt{5} + \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5}} = \frac{50+3}{\sqrt{5}} = \frac{53}{\sqrt{5}} = \frac{53\sqrt{5}}{5} \)

4. Найдем f(1) + f'(1):

\( f(1) + f'(1) = 2\sqrt{5} + \frac{53\sqrt{5}}{5} = \frac{10\sqrt{5} + 53\sqrt{5}}{5} = \frac{63\sqrt{5}}{5} \)

Ответ: \( \frac{63\sqrt{5}}{5} \)