№4. Постройте график функции \(y=4-\frac{3x-6}{x^2-2x}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.

Область определения исходной функции: \(x\ne0\) и \(x\ne2\). При этих ограничениях:

\(y=4-\frac{3(x-2)}{x(x-2)}=4-\frac3x\).

График — гипербола \(y=4-\frac3x\) с вертикальной асимптотой \(x=0\) и горизонтальной асимптотой \(y=4\). Кроме того, при \(x=2\) функция не определена: на упрощённой гиперболе этому значению соответствует выколотая точка \((2;2.5)\).

Горизонтальная прямая \(y=m\) не пересекает график при \(m=4\), поскольку \(4-\frac3x\ne4\) для любого допустимого \(x\). Также отсутствует точка графика с ординатой \(2.5\): уравнение \(4-\frac3x=2.5\) даёт только \(x=2\), где исходная функция не определена.

Ответ: \(m=2.5\) или \(m=4\).