4. Предмет расположен между двумя плоскими зеркалами, образующими угол $ \alpha = 30^{\circ} $, и находится на расстоянии $ l = 10 \text{ см} $ от линии пересечения зеркал на одинаковом расстоянии от обоих зеркал. Определите расстояние между мнимыми изображениями этого предмета в зеркалах.

Question

4. Предмет расположен между двумя плоскими зеркалами, образующими угол $ \alpha = 30^{\circ} $, и находится на расстоянии $ l = 10 \text{ см} $ от линии пересечения зеркал на одинаковом расстоянии от обоих зеркал. Определите расстояние между мнимыми изображениями этого предмета в зеркалах.

$Фото задания: 4. Предмет расположен между двумя плоскими зеркалами, образующими угол $ \alpha = 30^{\circ} $, и находится на расстоянии…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Построим схему расположения предмета и зеркал. Угол между зеркалами $ \alpha = 30^{\circ} $. Предмет $ M $ находится на одинаковом расстоянии от зеркал, пусть это расстояние будет $ d $. Расстояние от линии пересечения зеркал до предмета $ l = 10 \text{ см} $.
Количество мнимых изображений, образующихся между двумя плоскими зеркалами, определяется по формуле: $ n = \frac{360^{\circ}}{\alpha} - 1 $. В данном случае $ n = \frac{360^{\circ}}{30^{\circ}} - 1 = 12 - 1 = 11 $.
Расстояние между изображениями найти сложно без построения всех 11 изображений. Однако, можно рассмотреть наиболее удалённые изображения.
Рассмотрим случай, когда предмет находится на одинаковом расстоянии от зеркал. Угол между зеркалами $ \alpha = 30^{\circ} $.
Для нахождения расстояний между изображениями, удобнее использовать метод симметричных отражений.
Построим изображение предмета $ M $ в первом зеркале $ Z_1 $ как $ M_1 $ и во втором зеркале $ Z_2 $ как $ M_2 $.
Угол между $ M_1 $ и $ M_2 $ будет равен $ 2\alpha $, если предмет находится на биссектрисе угла между зеркалами.
Однако, здесь предмет не на биссектрисе, а на расстоянии $ l $ от линии пересечения.
Построим изображения. Пусть предмет $ M $ находится на расстоянии $ x $ от первого зеркала и $ y $ от второго. По условию $ x = y $.
Расстояние $ l = 10 \text{ см} $ от линии пересечения.
Введём систему координат. Пусть вершина угла — начало координат. Первое зеркало — ось $ X $. Второе зеркало — прямая $ y = \tan(\alpha) x $.
Предмет $ M $ имеет координаты $ (l, y_M) $ или $ (x_M, l) $ в зависимости от ориентации.
Удобнее использовать закон отражения: угол падения равен углу отражения.
Рассмотрим треугольник, образованный предметом и двумя зеркалами.
Пусть $ d $ — расстояние от предмета до линии пересечения зеркал, $ \alpha $ — угол между зеркалами.
Если предмет находится на расстоянии $ r $ от каждого зеркала, то $ r = \frac{l}{\sin(\alpha/2)} $.
Расстояние между первым изображением $ M_1 $ и вторым изображением $ M_2 $ равно $ 2 \cdot r \cdot \sin(\alpha) $.
$ r = \frac{10 \text{ см}}{\sin(30^{\circ}/2)} = \frac{10 \text{ см}}{\sin(15^{\circ})} $.
$ \sin(15^{\circ}) = \sin(45^{\circ}-30^{\circ}) = \sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ}) - \cos(45^{\circ})\sin(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \approx \frac{2.449 - 1.414}{4} = \frac{1.035}{4} \approx 0.2588 $.
$ r = \frac{10}{0.2588} \text{ см} \approx 38.64 \text{ см} $.
Расстояние между $ M_1 $ и $ M_2 $ равно $ d(M_1, M_2) = 2r \sin(\alpha) = 2 \cdot 38.64 \text{ см} \cdot \sin(30^{\circ}) = 2 \cdot 38.64 \text{ см} \cdot 0.5 = 38.64 \text{ см} $.
Однако, это расстояние между первым двумя изображениями, а всего их 11.
Наиболее удаленные изображения образуются при последовательных отражениях.
Расстояние от предмета до линии пересечения $ l = 10 \text{ см} $. Угол $ \alpha = 30^{\circ} $.
Расстояние от предмета до первого зеркала, если оно составляет $ x $, а до второго $ y $, то $ x=y $.
Угол между зеркалами 30 градусов. Количество изображений 11.
Представим, что предмет находится на биссектрисе угла. Тогда расстояние от предмета до пересечения $ l $ будет связано с расстоянием до зеркал $ d $ как $ l = d \sin(\alpha/2) $.
$ d = l / \sin(\alpha/2) = 10 / \sin(15^{\circ}) $.
Наиболее удалённые изображения будут расположены на концах дуги, образованной полным углом в $ 360^{\circ} $.
Угол, охватываемый всеми изображениями, равен $ n \cdot \alpha = 11 \cdot 30^{\circ} = 330^{\circ} $ (если предмет не на биссектрисе).
Если предмет на одинаковом расстоянии от зеркал, то $ r $ — расстояние от предмета до каждого зеркала.
Построим изображения. Первое изображение $ M_1 $ находится на расстоянии $ 2x $ от первого зеркала. Второе $ M_2 $ на расстоянии $ 2y $ от второго зеркала.
Расстояние между $ M_1 $ и $ M_2 $ будет равно $ d(M_1, M_2) = 2l \cot(\alpha/2) $ если предмет на биссектрисе.
Так как предмет находится на расстоянии $ 10 \text{ см} $ от линии пересечения, а на одинаковом расстоянии от зеркал, это означает, что предмет лежит на биссектрисе угла между зеркалами.
Расстояние от предмета до линии пересечения $ l = 10 \text{ см} $.
Расстояние от предмета до каждого зеркала $ d $.
$ l = d \sin(\alpha/2) \implies d = \frac{l}{\sin(\alpha/2)} = \frac{10}{\sin(15^{\circ})} \text{ см} $.
Всего образуется $ n = 360/30 - 1 = 11 $ изображений.
Рассмотрим два крайних изображения.
Угол между направлением на предмет и направлением на первое зеркало равен $ \alpha/2 $.
Угол между направлением на предмет и направлением на второе зеркало равен $ \alpha/2 $.
Расстояние между первым изображением $ M_1 $ и вторым $ M_2 $ равно $ d(M_1, M_2) = 2d \sin(\alpha) = 2 \frac{10}{\sin(15^{\circ})} \sin(30^{\circ}) = \frac{20 \cdot 0.5}{\sin(15^{\circ})} = \frac{10}{\sin(15^{\circ})} \text{ см} $.
$ \sin(15^{\circ}) \approx 0.2588 $.
$ d(M_1, M_2) \approx \frac{10}{0.2588} \text{ см} \approx 38.64 \text{ см} $.
Это расстояние между первым и вторым изображениями.
Наиболее удаленные изображения будут расположены на концах дуги, соответствующей углу $ (n-1)\alpha = 10 \times 30^{\circ} = 300^{\circ} $ (если предмет не на биссектрисе).
В нашем случае, предмет на биссектрисе.
Угол между первым и последним изображением будет $ 360^{\circ} - \alpha = 330^{\circ} $ ? Нет.
Рассмотрим развёрнутую схему. Предмет $ M $. Расстояние до линии пересечения $ l $.
Расстояние от $ M $ до первого зеркала $ d_1 $, до второго $ d_2 $. $ d_1 = d_2 $.
$ l = d_1 \sin(\alpha/2) = d_2 \sin(\alpha/2) $.
$ d_1 = d_2 = \frac{l}{\sin(\alpha/2)} $.
Количество изображений $ n = 11 $.
Расстояние между первым и вторым изображением: $ d(M_1, M_2) = 2 d_1 \sin(\alpha) $.
$ d(M_1, M_2) = 2 \frac{l}{\sin(\alpha/2)} \sin(\alpha) = 2 \frac{l \cdot 2 \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} = 4l \cos(\alpha/2) $.
$ \cos(\alpha/2) = \cos(15^{\circ}) = \cos(45^{\circ}-30^{\circ}) = \cos(45^{\circ})\cos(30^{\circ}) + \sin(45^{\circ})\sin(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \approx \frac{2.449+1.414}{4} = \frac{3.863}{4} \approx 0.9659 $.
$ d(M_1, M_2) = 4 \cdot 10 \text{ см} \cdot 0.9659 = 38.636 \text{ см} $.
Это расстояние между первым и вторым изображением.
Рассмотрим весь набор изображений. Они расположены на дуге, соответствующей полному углу.
Углы между последовательными изображениями равны $ 2\alpha $ (относительно предмета) или $ \alpha $ (относительно линии пересечения).
В случае, когда предмет находится на биссектрисе, и $ 360^{\circ}/\alpha $ — целое число, то $ n = 360^{\circ}/\alpha $ изображений. Если $ 360^{\circ}/\alpha $ — нечётное, то $ n = 360^{\circ}/\alpha - 1 $ изображений.
В нашем случае $ 360/30 = 12 $. Но так как предмет не на биссектрисе (а он на биссектрисе, т.к. $ l=10 $ и $ d_1=d_2 $), то $ n=11 $.
Последнее изображение находится под углом $ 360^{\circ} - \alpha $ относительно первого.
Расстояние между $ M_1 $ и $ M_{11} $ будет самым большим.
Используем формулу для расстояния между $ k $-м и $ m $-м изображением: $ d(M_k, M_m) = 2d \sin(\Delta\theta) $ где $ Δ\theta $ — угол между направлениями на эти изображения от предмета.
Углы направлений на изображения (относительно биссектрисы): $ \pm \alpha, \pm 2\alpha, ..., \pm (n)\alpha $
В нашем случае $ n=11 $. Углы: $ ±30^{\circ}, ±60^{\circ}, ±90^{\circ}, ±120^{\circ}, ±150^{\circ}, ±180^{\circ} $ - здесь последнее изображение.
Угол между $ M_1 $ (на $ 30^{\circ} $) и $ M_{11} $ (на $ -30^{\circ} $) равен $ 60^{\circ} $.
Тогда расстояние между $ M_1 $ и $ M_{11} $ равно $ 2d \sin(60^{\circ}) = 2 \frac{10}{\sin(15^{\circ})} \sin(60^{\circ}) = \frac{20 \sin(60^{\circ})}{\sin(15^{\circ})} = \frac{20 \cdot \sqrt{3}/2}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4} = \frac{10\sqrt{3} \cdot 4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{40\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6-2} = \frac{40\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} = 10\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = 10(\sqrt{18}+\sqrt{6}) = 10(3\sqrt{2}+\sqrt{6}) \text{ см} $.
$ 10(3\times 1.414 + 2.449) = 10(4.242 + 2.449) = 10(6.691) = 66.91 \text{ см} $.
Проверим ещё раз. Наибольшее расстояние будет между изображениями, углы которых максимально отличаются.
Углы изображений относительно биссектрисы: $ ±30, ±60, ±90, ±120, ±150, ±180 $.
Углы: 30, 60, 90, 120, 150, 180, -150, -120, -90, -60, -30.
Самое большое расхождение углов между изображениями: $ 180 - (-150) $ нет.
Самое большое расстояние будет между $ M_1 $ (под углом $ 30^{\circ} $) и $ M_{11} $ (под углом $ -30^{\circ} $) — это $ 60^{\circ} $.
Или между $ M_5 $ (под углом $ 150^{\circ} $) и $ M_7 $ (под углом $ -150^{\circ} $). Расстояние равно $ 2d \sin(300^{\circ}) $ - нет.
Углы между изображениями друг относительно друга: $ 2\alpha, 2\alpha, ... $
Рассмотрим наиболее удалённые изображения. В нашем случае, когда $ 360/\alpha $ — целое, и предмет на биссектрисе, первое и последнее изображение находятся напротив друг друга.
Углы: $ ±30, ±60, ±90, ±120, ±150 $. Всего 10 изображений. И 11-е изображение на $ 180^{\circ} $.
То есть, $ M_1 $ на $ 30^{\circ} $, $ M_2 $ на $ 60^{\circ} $, ..., $ M_5 $ на $ 150^{\circ} $, $ M_6 $ на $ 180^{\circ} $.
$ M_7 $ на $ -150^{\circ} $ (что эквивалентно $ 210^{\circ} $), $ M_8 $ на $ -120^{\circ} $ (240), $ M_9 $ на $ -90^{\circ} $ (270), $ M_{10} $ на $ -60^{\circ} $ (300), $ M_{11} $ на $ -30^{\circ} $ (330).
Наибольшее расстояние будет между $ M_6 $ (на $ 180^{\circ} $) и $ M_1 $ (на $ 30^{\circ} $) или $ M_{11} $ (на $ 330^{\circ} $).
Угол между $ M_1 $ и $ M_{11} $ равен $ 60^{\circ} $. $ d(M_1, M_{11}) = 2d \sin(60^{\circ}) = 10(3\sqrt{2}+\sqrt{6}) \text{ см} \approx 66.91 \text{ см} $.
Угол между $ M_1 $ и $ M_6 $ равен $ 150^{\circ} $. $ d(M_1, M_6) = 2d \sin(150^{\circ}) = 2 \frac{10}{\sin(15^{\circ})} \sin(150^{\circ}) = \frac{20 \cdot 0.5}{\sin(15^{\circ})} = \frac{10}{\sin(15^{\circ})} \approx 38.64 \text{ см} $.
Угол между $ M_6 $ и $ M_{11} $ равен $ 150^{\circ} $. $ d(M_6, M_{11}) = 2d \sin(150^{\circ}) \approx 38.64 \text{ см} $.
Угол между $ M_1 $ и $ M_2 $ равен $ 30^{\circ} $. $ d(M_1, M_2) = 2d \sin(30^{\circ}) = 2 \frac{10}{\sin(15^{\circ})} \cdot 0.5 = \frac{10}{\sin(15^{\circ})} \approx 38.64 \text{ см} $.
То есть, большинство изображений находятся на расстоянии $ 38.64 \text{ см} $ друг от друга.
Наибольшее расстояние будет между $ M_1 $ и $ M_7 $ (180 градусов) ? Нет.
Расстояние между $ M_1 $ и $ M_{11} $ равно $ 66.91 \text{ см} $.
Но вопрос: "расстояние между мнимыми изображениями". Это может быть расстояние между любыми двумя изображениями, или между наиболее удаленными.
Если это расстояние между любыми двумя, то оно может быть разным.
Наибольшее расстояние между изображениями будет между $ M_1 $ и $ M_{11} $, или между $ M_2 $ и $ M_{10} $ и т.д.
Углы между $ M_1 $ и $ M_{11} $ — $ 60^{\circ} $. $ d(M_1, M_{11}) = 2d\sin(60^{\circ}) $.
Углы между $ M_2 $ и $ M_{10} $ — $ 60^{\circ} $. $ d(M_2, M_{10}) = 2d\sin(60^{\circ}) $.
Угол между $ M_1 $ и $ M_6 $ — $ 150^{\circ} $. $ d(M_1, M_6) = 2d\sin(150^{\circ}) $.
$ 2d \sin(150^{\circ}) = 2 \frac{10}{\sin(15^{\circ})} \cdot 0.5 = \frac{10}{\sin(15^{\circ})} \approx 38.64 \text{ см} $.
$ 2d \sin(60^{\circ}) = 2 \frac{10}{\sin(15^{\circ})} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{\sin(15^{\circ})} \approx \frac{10 \cdot 1.732}{0.2588} \approx 66.91 \text{ см} $.
Наибольшее расстояние между изображениями составляет $ 10(3\sqrt{2}+\sqrt{6}) \text{ см} \approx 66.9 \text{ см} $.

Ответ: Наибольшее расстояние между мнимыми изображениями предмета составляет приблизительно 66.9 см.