4. При каких значениях \(a\) имеет смысл выражение \(\frac{15a}{21}\), делённое на \(3+\frac{21}{4a-6}\)?

Чтобы выражение было определено, внутренний знаменатель должен быть ненулевым, а весь делитель — отличным от нуля.

1. Внутренний знаменатель: \(4a-6\ne0\), откуда \(a\ne\frac{3}{2}\).

2. Проверим делитель: \(3+\frac{21}{4a-6}=\frac{3(4a-6)+21}{4a-6}=\frac{12a+3}{4a-6}=\frac{3(4a+1)}{4a-6}\). Он не должен равняться нулю, поэтому \(4a+1\ne0\), то есть \(a\ne-\frac14\).

3. Числитель \(\frac{15a}{21}\) определён при любом \(a\), поэтому других ограничений нет.

Ответ: \(a\in\mathbb{R}\), где \(a\ne\frac32\) и \(a\ne-\frac14\).