№4. Прямоугольный ДАВС с гипотенузой АС вписан в окружность с центром в точке О. Сумма его катетов равна 21 см. РДАОВ= 36 см Чему равен радиус окружности?

Решение:

Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, имеет гипотенузу, являющуюся диаметром этой окружности. Значит, \( AC = 2R \), где R — радиус окружности.

Пусть катеты треугольника равны \( a \) и \( b \). По условию \( a + b = 21 \text{ см} \).

Периметр треугольника \( P_{\triangle ABC} = a + b + AC = 21 + 2R \).

В задаче указано \( P_{\triangle AOB} = 36 \text{ см} \). Треугольник AOB является равнобедренным, так как AO = BO = R (радиусы). AB — гипотенуза этого треугольника.

Это условие \( P_{\triangle AOB} = 36 \text{ см} \) является избыточным или ошибочным, так как оно не связано с периметром всего треугольника ABC. По условию задачи, AC — гипотенуза прямоугольного треугольника ABC, а значит, AC является диаметром описанной окружности. Следовательно, \( AC = 2R \).

В прямоугольном треугольнике ABC: \( a^2 + b^2 = AC^2 = (2R)^2 = 4R^2 \).

Возможно, имелось в виду, что периметр треугольника ABC равен 36 см. Тогда \( a + b + AC = 36 \), что даёт \( 21 + 2R = 36 \). Отсюда \( 2R = 36 - 21 = 15 \text{ см} \), и \( R = 7.5 \text{ см} \).

Если же \( P_{\triangle AOB} = 36 \text{ см} \), то \( AO + BO + AB = 36 \). \( R + R + AB = 36 \), \( 2R + AB = 36 \).

Из условия \( a + b = 21 \) и \( a^2 + b^2 = 4R^2 \).

Возведем \( a + b = 21 \) в квадрат: \( (a+b)^2 = 21^2 \), \( a^2 + 2ab + b^2 = 441 \).

Подставим \( a^2 + b^2 = 4R^2 \): \( 4R^2 + 2ab = 441 \).

Если \( 2R + AB = 36 \), то \( AB = 36 - 2R \).

Если использовать теорему Пифагора для \( \triangle ABC \): \( a^2 + b^2 = AB^2 \) (это верно, если AB — гипотенуза, но по условию AC — гипотенуза).

Попробуем предположить, что \( P_{\triangle ABC} = 36 \text{ см} \). Тогда \( 21 + 2R = 36 \), \( 2R = 15 \text{ см} \), \( R = 7.5 \text{ см} \).

Если \( P_{\triangle AOB} = 36 \text{ см} \), то \( R + R + AB = 36 \), \( AB = 36 - 2R \).

По условию \( a + b = 21 \), \( a^2 + b^2 = (2R)^2 \).

По теореме Пифагора для \( \triangle ABC \), \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \). \( a^2 + b^2 = (2R)^2 \).

Если \( P_{\triangle AOB} = 36 \text{ см} \) и \( AO=BO=R \), то \( AB \) — это хорда.

С учётом вероятной ошибки в условии, наиболее логичным кажется, что периметр всего треугольника ABC равен 36 см.

Если \( P_{\triangle ABC} = 36 \text{ см} \), то \( a+b+AC = 36 \). \( 21 + 2R = 36 \), \( 2R = 15 \text{ см} \), \( R = 7.5 \text{ см} \).

Ответ: 7.5 см.