№5. Дана окружность с центром О. Около нее описан равнобедренный ДАВС с основанием AC. ZABC = 68°. Найдите ZBOC, ZAOB, ZAOC.

Решение:

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°: \( \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180° \).

\( 2 \angle BAC + 68° = 180° \).

\( 2 \angle BAC = 180° - 68° = 112° \).

\( \angle BAC = \frac{112°}{2} = 56° \). Значит, \( \angle BAC = \angle BCA = 56° \).

Так как треугольник ABC описан около окружности с центром O, то O является центром вписанной окружности. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

OB — биссектриса угла \( \angle ABC \), OA — биссектриса угла \( \angle BAC \), OC — биссектриса угла \( \angle BCA \).

\( \angle OBC = \angle OBA = \frac{68°}{2} = 34° \).

\( \angle OAB = \angle OAC = \frac{56°}{2} = 28° \).

\( \angle OCB = \angle OCA = \frac{56°}{2} = 28° \).

Теперь найдём центральные углы:

В треугольнике AOB:

\( \angle AOB = 180° - (\angle OAB + \angle OBA) = 180° - (28° + 34°) = 180° - 62° = 118° \).

В треугольнике BOC:

\( \angle BOC = 180° - (\angle OBC + \angle OCB) = 180° - (34° + 28°) = 180° - 62° = 118° \).

В треугольнике AOC:

\( \angle AOC = 180° - (\angle OAC + \angle OCA) = 180° - (28° + 28°) = 180° - 56° = 124° \).

Проверка: \( \angle AOB + \angle BOC + \angle AOC = 118° + 118° + 124° = 360° \).

Ответ: ∠BOC = 118°, ∠AOB = 118°, ∠AOC = 124°.