4* Разложить на множители: c³ - d³; c³ + 27; 1 - 1/8 p³; c³ + b⁶; x⁶ - 8

Решение:

Для решения используем формулы суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)
• Разность кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

1. \( c^3 - d^3 = (c - d)(c^2 + cd + d^2) \)
2. \( c^3 + 27 = c^3 + 3^3 = (c + 3)(c^2 - 3c + 3^2) = (c + 3)(c^2 - 3c + 9) \)
3. \( 1 - \frac{1}{8} p^3 = 1^3 - \left(\frac{1}{2} p\right)^3 = \left(1 - \frac{1}{2} p\right) \left(1^2 + 1 \cdot \frac{1}{2} p + \left(\frac{1}{2} p\right)^2\right) = \left(1 - \frac{1}{2} p\right) \left(1 + \frac{1}{2} p + \frac{1}{4} p^2\right) \)
4. \( c^3 + b^6 = c^3 + (b^2)^3 = (c + b^2)(c^2 - cb^2 + (b^2)^2) = (c + b^2)(c^2 - cb^2 + b^4) \)
5. \( x^6 - 8 \). Это можно представить как разность кубов: \( (x^2)^3 - 2^3 \).
6. \( (x^2 - 2)((x^2)^2 + x^2 \cdot 2 + 2^2) = (x^2 - 2)(x^4 + 2x^2 + 4) \)

Ответ:

• \( (c - d)(c^2 + cd + d^2) \)
• \( (c + 3)(c^2 - 3c + 9) \)
• \( \left(1 - \frac{1}{2} p\right) \left(1 + \frac{1}{2} p + \frac{1}{4} p^2\right) \)
• \( (c + b^2)(c^2 - cb^2 + b^4) \)
• \( (x^2 - 2)(x^4 + 2x^2 + 4) \)