4. Разложите на множители. a) 16x⁴ - 81; б) x² - x - y² - y.

Решение:

а)

\( 16x^4 - 81 \)

1. Заметим, что \( 16x^4 = (4x^2)^2 \) и \( 81 = 9^2 \). Таким образом, имеем разность квадратов \( (4x^2)^2 - 9^2 \).
2. Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \): \( (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) \).
3. Выражение \( 4x^2 - 9 \) также является разностью квадратов: \( (2x)^2 - 3^2 \).
4. Применим формулу разности квадратов ещё раз: \( (2x-3)(2x+3) \).
5. Таким образом, полное разложение: \( (2x-3)(2x+3)(4x^2+9) \).

б)

\( x^2 - x - y^2 - y \)

1. Сгруппируем слагаемые: \( (x^2 - y^2) - (x + y) \).
2. Применим формулу разности квадратов к первой группе: \( (x-y)(x+y) - (x+y) \).
3. Вынесем общий множитель \( (x+y) \) за скобки: \( (x+y)((x-y) - 1) \).
4. Упростим выражение в скобках: \( (x+y)(x-y-1) \).

Ответ: а) \( (2x-3)(2x+3)(4x^2+9) \); б) \( (x+y)(x-y-1) \).