4. Решить уравнение: 1) 2sin x 2 =1-cos x; 2) cos 3x 2 +x cos 3x-cos(π-x) sin 3x = -1.

4. Решение уравнений:

1. 2sin(x/2) = 1 - cos x
   Используем формулу косинуса половинного угла:
   cos x = 1 - 2sin²(x/2)
   Подставим в уравнение: \[ 2 \sin \frac{x}{2} = 1 - (1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}) \] \[ 2 \sin \frac{x}{2} = 1 - 1 + 2 \sin^2 \frac{x}{2} \] \[ 2 \sin \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \] Перенесем все в одну сторону: \[ 2 \sin^2 \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} = 0 \] Вынесем общий множитель 2sin(x/2): \[ 2 \sin \frac{x}{2} \left( \sin \frac{x}{2} - 1 \right) = 0 \] Получаем два случая: Случай 1: \[ \sin \frac{x}{2} = 0 \] \[ \frac{x}{2} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Случай 2: \[ \sin \frac{x}{2} - 1 = 0 \] \[ \sin \frac{x}{2} = 1 \] \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pi + 4 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
2. cos(3x/2 + x) cos 3x - cos(π - x) sin 3x = -1
   Упростим первое слагаемое:
   cos(3x/2 + x) = cos(5x/2)
   Упростим второе слагаемое:
   cos(π - x) = -cos x (по формулам приведения)
   Подставим в уравнение: \[ \cos \frac{5x}{2} \cos 3x - (- \cos x) \sin 3x = -1 \] \[ \cos \frac{5x}{2} \cos 3x + \cos x \sin 3x = -1 \] Это уравнение сложно решить напрямую. Проверим, нет ли опечатки в условии. Предположим, что в первом слагаемом было $\cos (\frac{3}{\mathrm{\pi }}-x)$ , а не $\cos (\frac{3\pi }{2}$ . Или что $\cos (\frac{3}{\mathrm{\pi }}+x)$ .
   Если предположить, что в первом слагаемом было $\cos (\frac{3}{\mathrm{\pi }}+x)$ , тогда: cos(3π/2 + x) = sin x (по формулам приведения)
   Уравнение станет: \[ \sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x = -1 \] Используем формулу синуса суммы:
   sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
   \[ \sin(x + 3x) = -1 \] \[ \sin(4x) = -1 \] \[ 4x = \frac{3\pi}{2} + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \] При отсутствии уточнений, второе уравнение остаётся нерешённым из-за возможной опечатки.

Ответ: 1)