4. Решите дробное рациональное уравнение: \(\frac{5}{x}+\frac{10}{x+1}=6,5\).

Область допустимых значений: \(x\ne0\), \(x\ne-1\).

Умножим обе части уравнения на \(2x(x+1)\): \(10(x+1)+20x=13x(x+1)\).

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону: \(13x^2-17x-10=0\).

По формуле корней квадратного уравнения: \(D=(-17)^2-4\cdot13\cdot(-10)=809\), поэтому \(x=\frac{17\pm\sqrt{809}}{26}\). Оба корня допустимы.

Ответ: \(x=\frac{17-\sqrt{809}}{26}\) или \(x=\frac{17+\sqrt{809}}{26}\).