4. Решите систему уравнений: 1) {1/x + 2/y = 11; 1/x − 2/y = −1}; 2) {5/x − 6/y = 2; 10/x − 9/y = 13}; 3) {1/x − 1/y = 1; 2/x − 1/(2y) = 5}.

Обозначим \(u=\frac1x\), \(v=\frac1y\).

1) Получаем систему \(u+2v=11\), \(u-2v=-1\). Складывая уравнения, имеем \(2u=10\), \(u=5\); тогда \(v=6\). Следовательно, \(x=\frac15\), \(y=\frac16\).

2) Система принимает вид \(5u-6v=2\), \(10u-9v=13\). Умножим первое уравнение на 2 и вычтем второе: \(-3v=-9\), \(v=-3\). Тогда \(5u+18=2\), \(u=-\frac{16}{5}\). Поэтому \(x=-\frac5{16}\), \(y=-\frac13\).

3) Имеем \(u-v=1\), \(2u-\frac v2=5\). Из первого \(v=u-1\). Подставим во второе: \(2u-\frac{u-1}{2}=5\), откуда \(u=3\), \(v=2\). Следовательно, \(x=\frac13\), \(y=\frac12\).

Ответ: 1) \(\left(\frac15;\frac16\right)\); 2) \(\left(-\frac5{16};-\frac13\right)\); 3) \(\left(\frac13;\frac12\right)\).