4. Решите системы уравнений: a) { x-y=7, xy = -10; б) { x-y=1, x²-y² = 7.

Решение:

4. а) Решим систему уравнений:

\( \begin{cases} x-y=7 \\ xy=-10 \end{cases} \)

1. Из первого уравнения выразим \( x \): \( x = y + 7 \).
2. Подставим это выражение во второе уравнение: \( (y+7)y = -10 \).
3. Раскроем скобки: \( y^2 + 7y = -10 \).
4. Перенесём все члены в одну сторону: \( y^2 + 7y + 10 = 0 \).
5. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \).
6. Корни \( y_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-7+3}{2} = -2 \) и \( y_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-7-3}{2} = -5 \).
7. Найдем соответствующие значения \( x \):
• Если \( y_1 = -2 \), то \( x_1 = -2 + 7 = 5 \).
• Если \( y_2 = -5 \), то \( x_2 = -5 + 7 = 2 \).

4. б) Решим систему уравнений:

\( \begin{cases} x-y=1 \\ x^2-y^2=7 \end{cases} \)

1. Разложим второе уравнение по формуле разности квадратов: \( (x-y)(x+y) = 7 \).
2. Подставим значение \( x-y=1 \) из первого уравнения: \( 1 \cdot (x+y) = 7 \)
3. \( x+y = 7 \).
4. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
• \( \begin{cases} x-y=1 \\ x+y=7 \end{cases} \)
5. Сложим два уравнения: \( (x-y) + (x+y) = 1 + 7 \)
6. \( 2x = 8 \Rightarrow x = 4 \).
7. Подставим \( x=4 \) в любое из уравнений, например, в \( x-y=1 \): \( 4 - y = 1 \Rightarrow y = 4 - 1 = 3 \).

Ответ: а) \( (5; -2) \), \( (2; -5) \); б) \( (4; 3) \).