Контрольные задания
Вопрос:

4. Решите уравнение: a) (10y)/(9y² - 4) + (y - 5)/(3y + 2) = (y - 3)/(2 - 3y); б) (x² + 5x + 6)(x² + 5x + 4) = 840.

Фото задания: 4. Решите уравнение: a) (10y)/(9y² - 4) + (y - 5)/(3y + 2) = (y - 3)/(2 - 3y); б) (x² + 5x + 6)(x² + 5x + 4) = 840.Фото задания

Ответ:

Решение:

4. а) Решение уравнения \( \frac{10y}{9y^2 - 4} + \frac{y - 5}{3y + 2} = \frac{y - 3}{2 - 3y} \):

  1. Разложим знаменатели на множители: \( 9y^2 - 4 = (3y - 2)(3y + 2) \), \( 2 - 3y = -(3y - 2) \).
  2. Приведём уравнение к виду с общим знаменателем \( (3y - 2)(3y + 2) \): \( \frac{10y}{(3y - 2)(3y + 2)} + \frac{(y - 5)(3y - 2)}{(3y + 2)(3y - 2)} = -\frac{(y - 3)(3y + 2)}{(3y - 2)(3y + 2)} \).
  3. Умножим обе части на \( (3y - 2)(3y + 2) \), предварительно наложив ограничения: \( y ≠ ± 2/3 \).
  4. \( 10y + (y - 5)(3y - 2) = -(y - 3)(3y + 2) \).
  5. Раскроем скобки: \( 10y + (3y^2 - 2y - 15y + 10) = -(3y^2 + 2y - 9y - 6) \).
  6. \( 10y + 3y^2 - 17y + 10 = -(3y^2 - 7y - 6) \).
  7. \( 3y^2 - 7y + 10 = -3y^2 + 7y + 6 \).
  8. Перенесём все члены в левую часть: \( 3y^2 + 3y^2 - 7y - 7y + 10 - 6 = 0 \) \( \rightarrow \) \( 6y^2 - 14y + 4 = 0 \).
  9. Разделим на 2: \( 3y^2 - 7y + 2 = 0 \).
  10. Найдём дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 \). \( \sqrt{D} = 5 \).
  11. Найдём корни: \( y_1 = \frac{7 + 5}{2 · 3} = \frac{12}{6} = 2 \). \( y_2 = \frac{7 - 5}{2 · 3} = \frac{2}{6} = 1/3 \).
  12. Оба корня удовлетворяют ограничениям \( y ≠ ± 2/3 \).

Ответ: y = 2, y = 1/3.

4. б) Решение уравнения \( (x^2 + 5x + 6)(x^2 + 5x + 4) = 840 \):

  1. Сделаем замену: пусть \( z = x^2 + 5x + 4 \). Тогда \( x^2 + 5x + 6 = z + 2 \).
  2. Уравнение примет вид: \( (z + 2)z = 840 \).
  3. Раскроем скобки: \( z^2 + 2z - 840 = 0 \).
  4. Решим квадратное уравнение относительно \( z \). Найдём дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) = 4 + 3360 = 3364 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{3364} = 58 \).
  5. Найдём корни: \( z_1 = \frac{-2 + 58}{2 \cdot 1} = \frac{56}{2} = 28 \). \( z_2 = \frac{-2 - 58}{2 \cdot 1} = \frac{-60}{2} = -30 \).
  6. Вернёмся к замене \( z = x^2 + 5x + 4 \):
    • \( x^2 + 5x + 4 = 28 \) \( \rightarrow \) \( x^2 + 5x - 24 = 0 \).
    • Дискриминант: \( D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 \). \( \sqrt{D} = 11 \).
    • Корни: \( x_1 = \frac{-5 + 11}{2} = 3 \). \( x_2 = \frac{-5 - 11}{2} = -8 \).
    • \( x^2 + 5x + 4 = -30 \) \( \rightarrow \) \( x^2 + 5x + 34 = 0 \).
    • Дискриминант: \( D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 25 - 136 = -111 \). Так как \( D < 0 \), действительных корней нет.

Ответ: x = 3, x = -8.