4. Решите уравнение: а) (3y + 2)/(4y² + y) + (y − 3)/(16y² − 1) = 3/(4y − 1); б) (x² + 3x + 1)(x² + 3x − 9) = 171.

а) Сначала учтём ограничения: \(y\ne0\), \(y\ne-\frac14\), \(y\ne\frac14\), так как знаменатели не должны обращаться в ноль.

Разложим знаменатели: \(4y^2+y=y(4y+1)\), \(16y^2-1=(4y-1)(4y+1)\). Умножим уравнение на общий знаменатель \(y(4y-1)(4y+1)\):

\((3y+2)(4y-1)+y(y-3)=3y(4y+1)\).

Раскроем скобки и приведём подобные:

\(12y^2+5y-2+y^2-3y=12y^2+3y\),

\(y^2+2y-2=0\).

По формуле корней квадратного уравнения получаем \(y=-1\pm\sqrt{3}\). Эти значения не нарушают ограничений.

б) Обозначим \(t=x^2+3x\). Тогда уравнение принимает вид:

\((t+1)(t-9)=171\).

Раскроем скобки и перенесём 171 в левую часть:

\(t^2-8t-9=171\), следовательно, \(t^2-8t-180=0\).

Разложим на множители: \((t-18)(t+10)=0\), откуда \(t=18\) или \(t=-10\).

При \(t=18\): \(x^2+3x=18\), то есть \((x-3)(x+6)=0\). Получаем \(x=3\) или \(x=-6\).

При \(t=-10\): \(x^2+3x+10=0\). Дискриминант равен \(9-40=-31<0\), поэтому действительных корней нет.

Ответ: а) \(y=-1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3}\); б) \(x=-6, 3\).