4. Решите уравнение: x³ − 8x² − 13x − 2 = 0.

Рациональные корни среди целых делителей числа \(2\) отсутствуют. Для нахождения действительного корня положим \(x=z+\frac83\). После раскрытия скобок получаем приведённое уравнение

\(z^3-\frac{103}{3}z-\frac{1690}{27}=0.\)

По формуле Кардано его действительный корень задаётся выражением

\(z=\sqrt[3]{\frac{845+9\sqrt{1542}}{27}}+\sqrt[3]{\frac{845-9\sqrt{1542}}{27}}.\)

Следовательно,

\(x=\frac{8+\sqrt[3]{845+9\sqrt{1542}}+\sqrt[3]{845-9\sqrt{1542}}}{3}\approx9.49.\)

У кубического уравнения есть только один действительный корень: его производная \(3x^2-16x-13\) показывает, что локальный максимум и локальный минимум многочлена оба ниже нуля, а при больших положительных \(x\) многочлен возрастает без ограничения.

Ответ: \(x=\frac{8+\sqrt[3]{845+9\sqrt{1542}}+\sqrt[3]{845-9\sqrt{1542}}}{3}\approx9.49\).