4. Решите уравнение: (x + \(\frac{2}{x}\))^2 - 2\(\frac{x^2+2}{x}\) - 3 = 0.

Решение:

Преобразуем уравнение:

\[ \left(x + \frac{2}{x}\right)^2 - 2\left(x + \frac{2}{x}\right) - 3 = 0 \]

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x + \frac{2}{x} \).

Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 2y - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \):

\[ D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \]

\[ y_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2+4}{2} = 3 \]

\[ y_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2-4}{2} = -1 \]

Теперь вернёмся к переменной \( x \).

Случай 1: \( x + \frac{2}{x} = 3 \)

\[ x^2 + 2 = 3x \]

\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

\[ D = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 \]

\[ x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]

Случай 2: \( x + \frac{2}{x} = -1 \)

\[ x^2 + 2 = -x \]

\[ x^2 + x + 2 = 0 \]

\[ D = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 \]

Так как \( D < 0 \), этот случай не имеет действительных корней.

Ответ: x = 1, x = 2.