6. Найдите все такие значения k, при которых уравнение kx² - (k² + 4)x + 4k = 0 имеет только целые корни.

Решение:

Дано квадратное уравнение \( kx^2 - (k^2 + 4)x + 4k = 0 \).

1. Если \( k = 0 \), то уравнение имеет вид \( -(0^2+4)x + 4(0) = 0 \), то есть \( -4x = 0 \), откуда \( x = 0 \). В этом случае корень целый, но значение \( k = 0 \) не является коэффициентом при \( x^2 \) квадратного уравнения.
2. Рассмотрим случай, когда \( k \neq 0 \).
3. Для того, чтобы уравнение имело корни, дискриминант \( D \) должен быть неотрицательным.
4. \( D = (-(k^2+4))^2 - 4(k)(4k) = (k^2+4)^2 - 16k^2 = k^4 + 8k^2 + 16 - 16k^2 = k^4 - 8k^2 + 16 = (k^2-4)^2 \).
5. Так как \( D = (k^2-4)^2 \), то \( D \nless 0 \) при любом \( k \). Следовательно, уравнение всегда имеет действительные корни.
6. Найдем корни уравнения по формуле: \( x = \frac{-(k^2+4) & \pm \sqrt{(k^2-4)^2}}{2k} = \frac{k^2+4 \pm (k^2-4)}{2k} \).
7. Первый корень: \( x_1 = \frac{k^2+4 + (k^2-4)}{2k} = \frac{2k^2}{2k} = k \).
8. Второй корень: \( x_2 = \frac{k^2+4 - (k^2-4)}{2k} = \frac{k^2+4 - k^2+4}{2k} = \frac{8}{2k} = \frac{4}{k} \).
9. Условие задачи — оба корня должны быть целыми числами.
10. Случай 1: \( x_1 = k \) — целое число. Это значит, что \( k \) должно быть целым числом.
11. Случай 2: \( x_2 = \frac{4}{k} \) — целое число. Это значит, что \( k \) должно быть делителем числа 4.
12. Целыми делителями числа 4 являются: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).
13. Проверим каждое значение \( k \):
14. • Если \( k = 1 \), то \( x_1 = 1 \) (целое), \( x_2 = \frac{4}{1} = 4 \) (целое). Подходит.
    • Если \( k = -1 \), то \( x_1 = -1 \) (целое), \( x_2 = \frac{4}{-1} = -4 \) (целое). Подходит.
    • Если \( k = 2 \), то \( x_1 = 2 \) (целое), \( x_2 = \frac{4}{2} = 2 \) (целое). Подходит.
    • Если \( k = -2 \), то \( x_1 = -2 \) (целое), \( x_2 = \frac{4}{-2} = -2 \) (целое). Подходит.
    • Если \( k = 4 \), то \( x_1 = 4 \) (целое), \( x_2 = \frac{4}{4} = 1 \) (целое). Подходит.
    • Если \( k = -4 \), то \( x_1 = -4 \) (целое), \( x_2 = \frac{4}{-4} = -1 \) (целое). Подходит.
15. Также следует учесть случай, когда \( k=0 \). В этом случае уравнение становится линейным \( -4x = 0 \), что дает целый корень \( x = 0 \). Однако, в условии задачи прописано \( kx^2 \), что подразумевает \( k \) как коэффициент при \( x^2 \) в квадратном уравнении, т.е. \( k \neq 0 \).
16. Таким образом, все значения \( k \), при которых уравнение имеет только целые корни, это \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).

Ответ: k = 1, -1, 2, -2, 4, -4.