4. Решите задачу. Введите ответ в предложенное ниже поле. Аня вяжет шарф. Она может связать его за 6 дней, но её кот тайном распускает шарф с другой стороны, поэтому шарф удвоится только за 21 день. Сколько дней понадобится коту, чтобы распустить готовый шарф?

Решение:

Пусть \( A \) — производительность Ани (связанный шарф за день), \( K \) — производительность кота (распущенный шарф за день).

Объем работы — 1 шарф.

За 1 день Аня связывает \( A = \frac{1}{6} \) часть шарфа.

За 1 день кот распускает \( K \) часть шарфа.

Если Аня вяжет, а кот распускает, то за 1 день шарф увеличивается на \( A - K \).

Шарф удвоится за 21 день. Это значит, что за 21 день будет связано столько же, сколько распущено, чтобы получился удвоенный шарф. Или, иначе говоря, положительный вклад Ани и отрицательный вклад кота привели к тому, что за 21 день связали 1 шарф (то есть 0.5 шарфа от Ани и -0.5 от кота, если считать, что в итоге получился 1 шарф, а не удвоенный).

Условие «шарф удвоится только за 21 день» означает, что за 21 день работы Ани и кота, количество связанного шарфа стало в два раза больше, чем если бы работала только Аня.

Если бы работала только Аня, она бы связала шарф за 6 дней.

Если Аня вяжет, а кот распускает, то за 21 день связывается 1 шарф. Это означает, что за 21 день Аня связывает \( 21A \), а кот распускает \( 21K \). Итоговый результат:

\( 21A - 21K = 1 \)
\( 21 \left( \frac{1}{6} \right) - 21K = 1 \)
\( \frac{21}{6} - 21K = 1 \)
\( \frac{7}{2} - 21K = 1 \)
\( 3.5 - 21K = 1 \)
\( 21K = 3.5 - 1 \)
\( 21K = 2.5 \)
\( K = \frac{2.5}{21} = \frac{5/2}{21} = \frac{5}{42} \)

Производительность кота — \( \frac{5}{42} \) шарфа в день.

Чтобы узнать, сколько дней понадобится коту, чтобы распустить готовый шарф (1 шарф), нужно разделить объем работы на производительность кота:

\( t_{кот} = \frac{1}{K} = \frac{1}{\frac{5}{42}} = \frac{42}{5} = 8.4 \) дня.

Ответ:

готовый шарф кот распустит за 8.4 дней.