4. Решите задачу. Введите ответ в предложенное поле. В ответе укажите только число без пробелов. На окружности отмечены 4 точки. Л, В, С, Д. Найдите угол А, если известно, что \(\angle\) C = 55°, \(\angle\) BOC = 117°.

Решение:

Угол \( A \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( BCD \). Угол \( BOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( BC \). Следовательно, градусная мера дуги \( BC \) равна градусной мере центрального угла \( BOC \), то есть \( \overset{\frown}{BC} = 117° \).

Угол \( C \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( ABD \). Следовательно, градусная мера дуги \( ABD \) равна удвоенной величине угла \( C \), то есть \( \overset{\frown}{ABD} = 2 \cdot 55° = 110° \).

Градусная мера всей окружности равна 360°. Градусная мера дуги \( AD \) равна \( 360° - \overset{\frown}{BC} - \overset{\frown}{ABD} = 360° - 117° - 110° = 133° \).

Угол \( A \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( BCD \). Дуга \( BCD = \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD} \).

Дуга \( CD \) = \( 360° - \overset{\frown}{ABD} - \overset{\frown}{BC} = 360° - 110° - 117° = 133° \).

Дуга \( BCD \) = \( \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD} \) = \( 117° + \overset{\frown}{CD} \).

Угол \( A \) опирается на дугу \( BCD \). Угол \( C \) опирается на дугу \( ABD \).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

\( \angle C = 55° \) опирается на дугу \( ABD \), значит \( \overset{\frown}{ABD} = 2 \times 55° = 110° \).

\( \angle BOC = 117° \) — центральный, значит \( \overset{\frown}{BC} = 117° \).

Дуга \( CD \) = \( 360° - \overset{\frown}{ABD} - \overset{\frown}{BC} \) = \( 360° - 110° - 117° = 133° \).

Угол \( A \) опирается на дугу \( BCD \). Дуга \( BCD = \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD} = 117° + 133° = 250° \).

\( \angle A = \frac{1}{2} \overset{\frown}{BCD} = \frac{1}{2} \times 250° = 125° \).

Ответ: 125