4. Сформулируйте и докажите основное свойство степени: \(a^n\cdot a^m\).

Основное свойство степени: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают:

\(a^n\cdot a^m=a^{n+m}\).

Доказательство:

\(a^n\) содержит \(n\) множителей, равных \(a\), а \(a^m\) содержит \(m\) таких множителей. При умножении получается всего \(n+m\) множителей:

\(a^n\cdot a^m=\underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ множителей}}\cdot\underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{m\text{ множителей}}=\underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{n+m\text{ множителей}}=a^{n+m}\).

Ответ: \(a^n\cdot a^m=a^{n+m}\).