5. Сформулируйте все свойства степеней: а) деление степеней с одинаковыми основаниями; б) возведение степени в степень; в) возведение произведения и дроби в степень; г) возведение числа в нулевую степень; д) возведение отрицательного числа в степень.

а) Деление степеней с одинаковыми основаниями

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя:

\(\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\), где \(a\ne0\) и \(n>m\).

б) Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают:

\((a^n)^m=a^{nm}\).

в) Возведение произведения и дроби в степень

При возведении произведения в степень в эту степень возводят каждый множитель:

\((ab)^n=a^n b^n\).

При возведении дроби в степень в эту степень возводят числитель и знаменатель:

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\), где \(b\ne0\).

г) Возведение числа в нулевую степень

Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице:

\(a^0=1\), где \(a\ne0\).

д) Возведение отрицательного числа в степень

Если показатель степени чётный, результат положительный:

\((-a)^{2k}=a^{2k}\).

Если показатель степени нечётный, результат отрицательный:

\((-a)^{2k+1}=-a^{2k+1}\).

Например: \((-2)^4=16\), а \((-2)^3=-8\).

Ответ: свойства степеней приведены выше.