4. Солнечные лучи падают на землю под углом φ = 28° к ее поверхности. Под каким углом к горизонту нужно расположить плоское зеркало, чтобы направить отраженные от него лучи вертикально вниз?

Решение:

Угол падения луча на зеркало равен углу отражения. Чтобы отраженный луч был направлен вертикально вниз, он должен падать на зеркало под углом 90° к горизонту. Это означает, что падающий луч (солнечный) должен быть направлен под углом 90° к нормали к зеркалу.

Солнечные лучи падают на землю под углом \( φ = 28^° \) к поверхности. Это значит, что угол между падающим лучом и поверхностью земли равен 28°.

Пусть \( α \) - угол, под которым зеркало расположено к горизонту. Нормаль к зеркалу будет составлять угол \( 90^° - α \) с поверхностью земли.

Угол падения \( θ \) - это угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу.

Угол между падающим лучом и поверхностью земли равен \( 28^° \). Значит, угол между падающим лучом и нормалью к поверхности земли равен \( 90^° - 28^° = 62^° \).

Чтобы отраженный луч был вертикальным (направлен вниз), он должен падать на зеркало под углом 90° к горизонту, то есть нормаль к зеркалу должна быть горизонтальной. В этом случае угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу равен углу между падающим лучом и вертикалью, т.е. \( 90^° - 28^° = 62^° \).

Если отраженный луч направлен вертикально вниз, то угол отражения равен 0° к вертикали. Тогда угол падения также равен 0° к вертикали, то есть падающий луч должен быть вертикальным. Но солнечные лучи падают под углом 28° к поверхности.

Рассмотрим случай, когда отраженный луч направлен вертикально вниз. Это означает, что зеркало должно быть расположено так, чтобы отразить падающий луч под углом 90° к горизонту. Угол падения равен углу отражения.

Если падающий луч образует угол 28° с поверхностью, то угол между падающим лучом и нормалью к поверхности земли равен 62°.

Пусть зеркало наклонено под углом \( α \) к горизонту. Тогда нормаль к зеркалу наклонена под углом \( 90^° - α \) к поверхности земли.

Угол падения \( θ \) равен углу между падающим лучом и нормалью к зеркалу. Угол отражения \( θ \) равен углу между отраженным лучом и нормалью к зеркалу.

Отраженный луч должен быть направлен вертикально вниз. Значит, угол между отраженным лучом и горизонтом равен 90°.

Угол между падающим лучом и поверхностью = 28°.

Угол между падающим лучом и вертикалью = 90° - 28° = 62°.

Пусть угол наклона зеркала к горизонту равен \( α \). Тогда угол между нормалью к зеркалу и вертикалью равен \( α \).

Угол падения \( θ \) = Угол между падающим лучом (под углом 62° к вертикали) и нормалью к зеркалу (под углом \( α \) к вертикали).

Угол отражения \( θ \) = Угол между отраженным лучом (вертикально вниз, т.е. 0° к вертикали) и нормалью к зеркалу (под углом \( α \) к вертикали).

Из условия, что отраженный луч направлен вертикально вниз, угол между отраженным лучом и нормалью к зеркалу равен \( α \). Следовательно, угол падения \( θ = α \).

С другой стороны, угол падения \( θ \) равен углу между падающим лучом (62° к вертикали) и нормалью к зеркалу (\( α \) к вертикали). Если эти углы равны, то \( α = |62^° - α| \). Это возможно, если \( α = 62^° \) (тогда отраженный луч направлен вверх) или \( α = 31^° \).

Если угол между падающим лучом и поверхностью земли равен 28°, то угол между падающим лучом и вертикалью равен 90° - 28° = 62°.

Чтобы отраженный луч был вертикально вниз, зеркало должно быть расположено под углом 31° к горизонту. Угол падения будет равен 31°, а угол отражения равен 31°.

Пусть угол падения равен \( θ \). Угол между зеркалом и падающим лучом равен \( 90^° - θ \). Угол между зеркалом и отраженным лучом также равен \( 90^° - θ \).

Угол между падающим лучом и поверхностью земли = 28°.

Угол между падающим лучом и вертикалью = 62°.

Угол между отраженным лучом и поверхностью земли = 90°.

Пусть угол наклона зеркала к горизонту равен \( α \). Тогда угол между нормалью к зеркалу и вертикалью равен \( α \).

Угол падения \( θ \) = угол между падающим лучом (62° к вертикали) и нормалью (\( α \) к вертикали).

Угол отражения \( θ \) = угол между отраженным лучом (0° к вертикали) и нормалью (\( α \) к вертикали).

Следовательно, \( θ = α \).

Также \( θ \) = угол между падающим лучом и нормалью. Мы знаем, что угол между падающим лучом и вертикалью равен 62°.

Из уравнения \( θ = α \) и \( θ = |62^° - α| \) (или \( θ = 62^° + α \) , но это невозможно, так как \( α \) и \( 62^° \) - углы с вертикалью, и их сумма не может быть равна углу падения, если \( α \) < 62°).

Рассмотрим случай \( θ = |62^° - α| \). Если \( 62^° > α \), то \( θ = 62^° - α \). Так как \( θ = α \), то \( α = 62^° - α \) \( \rightarrow 2α = 62^° \) \( \rightarrow α = 31^° \).

Если \( α > 62^° \), то \( θ = α - 62^° \). Тогда \( α = α - 62^° \), что невозможно.

Таким образом, угол наклона зеркала к горизонту \( α = 31^° \).

Ответ: 31°