5. Тонкая линза с оптической силой D = 10,0 дптр дает изображение предмета на экране, увеличенное в четыре раза. Определите расстояние от предмета до линзы.

Решение:

Дано:

Оптическая сила линзы \( D = 10,0 \) дптр.

Увеличение \( Γ = 4 \).

Найти:

Расстояние от предмета до линзы \( d \).

1. Найдем фокусное расстояние линзы:

Фокусное расстояние \( F \) связано с оптической силой \( D \) соотношением:

\[ F = \frac{1}{D} \]\[ F = \frac{1}{10,0 \text{ дптр}} = 0,1 \text{ м} \]\[ F = 10 \text{ см} \]

2. Определим соотношение расстояний до предмета и изображения:

Увеличение \( Γ \) линзы равно отношению расстояния до изображения \( f \) к расстоянию до предмета \( d \), а также отношению изображения к предмету. В данном случае изображение действительное (на экране), поэтому:

\[ Γ = \frac{f}{d} \]

Дано увеличение \( Γ = 4 \), следовательно:

\[ 4 = \frac{f}{d} \]

Отсюда \( f = 4d \).

3. Используем формулу тонкой линзы:

\[ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} \]

Подставим \( f = 4d \) и \( F = 10 \) см:

\[ \frac{1}{10} = \frac{1}{d} + \frac{1}{4d} \]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{10} = \frac{4}{4d} + \frac{1}{4d} \]

\[ \frac{1}{10} = \frac{5}{4d} \]

Теперь выразим \( d \):

\[ 4d = 5 \cdot 10 \]

\[ 4d = 50 \]

\[ d = \frac{50}{4} = 12,5 \text{ см} \]

Ответ: 12,5 см