4. Солнечные лучи падают на землю под углом φ = 32° к ее поверхности. Под каким углом к горизонту нужно расположить плоское зеркало, чтобы направить отраженные от него лучи вертикально вверх?

Решение:

Угол падения равен углу отражения. Луч, падающий на зеркало, идет под углом 32° к поверхности земли. Это означает, что угол между падающим лучом и вертикалью составляет \( 90° - 32° = 58° \).

Чтобы отраженные лучи шли вертикально вверх, они должны падать на зеркало под углом, таким, чтобы после отражения они шли вертикально. Это означает, что падающий луч должен падать на зеркало под углом, равным углу между отраженным лучом (вертикаль) и зеркалом.

Пусть \( \alpha \) — угол между падающим лучом и горизонтом, \( \alpha = 32° \). Угол между падающим лучом и вертикалью — \( 90° - 32° = 58° \).

Пусть \( \beta \) — угол, под которым зеркало расположено к горизонту. Угол между зеркалом и вертикалью — \( 90° - \beta \).

Отраженный луч должен идти вертикально вверх. Это значит, что отраженный луч направлен по вертикали.

Для того, чтобы отраженный луч шел вертикально вверх, падающий луч должен падать на зеркало под углом, таким, чтобы угол отражения был равен углу между отраженным лучом и нормалью к зеркалу. Отраженный луч идет вертикально вверх, значит, нормаль к зеркалу должна быть горизонтальной. Если нормаль к зеркалу горизонтальна, то зеркало расположено вертикально. Но это не так, так как солнечные лучи падают под углом.

Правильное рассуждение:

1. Солнечные лучи падают на землю под углом \( 32° \) к поверхности. Это значит, что угол между падающим лучом и нормалью к поверхности земли (вертикалью) равен \( 90° - 32° = 58° \).
2. Мы хотим, чтобы отраженный луч шел вертикально вверх.
3. Согласно закону отражения, угол падения равен углу отражения. Угол падения — это угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу. Угол отражения — это угол между отраженным лучом и нормалью к зеркалу.
4. Пусть \( \theta \) — угол, под которым нужно расположить зеркало к горизонту.
5. Угол между падающим лучом и горизонтом равен \( 32° \).
6. Угол между падающим лучом и вертикалью равен \( 90° - 32° = 58° \).
7. Отраженный луч должен идти вертикально вверх, то есть под углом 90° к горизонту.
8. Угол между отраженным лучом и вертикалью равен 0°.
9. Пусть \( \gamma \) — угол падения луча на зеркало. Пусть \( \delta \) — угол отражения луча от зеркала. \( \gamma = \delta \).
10. Угол между зеркалом и горизонтом равен \( \theta \).
11. Угол между нормалью к зеркалу и горизонтом равен \( 90° - \theta \).
12. Рассмотрим угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу (угол падения).
13. Рассмотрим угол между отраженным лучом (вертикаль) и нормалью к зеркалу.
14. Сумма углов между нормалью к зеркалу и падающим лучом, и между нормалью к зеркалу и отраженным лучом, составляет угол между падающим и отраженным лучами.
15. Угол между падающим лучом и горизонтом = \( 32° \).
16. Угол между отраженным лучом и горизонтом = \( 90° \).
17. Пусть \( \phi \) — угол между падающим лучом и зеркалом. \( \phi = 90° - 32° = 58° \).
18. Пусть \( \psi \) — угол между отраженным лучом и зеркалом. \( \psi = 90° - 90° = 0° \).
19. Угол падения \( \gamma \) и угол отражения \( \delta \) отсчитываются от нормали к зеркалу.
20. Угол между зеркалом и горизонтом = \( \theta \).
21. Угол между нормалью к зеркалу и горизонтом = \( 90° - \theta \).
22. Угол между падающим лучом и горизонтом = \( 32° \).
23. Угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу (угол падения \( \gamma \)) = \( |(90° - \theta) - 32°| \) или \( |(90° - \theta) + 32°| \).
24. Угол между отраженным лучом (вертикаль) и нормалью к зеркалу (угол отражения \( \delta \)) = \( |(90° - \theta) - 90°| = |-\theta| = \theta \) или \( |(90° - \theta) + 90°| = |180° - \theta| \).
25. Так как \( \gamma = \delta \), то \( |(90° - \theta) - 32°| = |-\theta| \).
26. Рассмотрим геометрически:
27. Пусть луч падает под углом \( 32° \) к горизонту.
28. Пусть зеркало наклонено под углом \( \theta \) к горизонту.
29. Нормаль к зеркалу наклонена под углом \( 90° - \theta \) к горизонту (или \( \theta \) к вертикали).
30. Отраженный луч должен идти вертикально вверх.
31. Угол падения равен углу отражения.
32. Угол между падающим лучом и горизонтом = \( 32° \).
33. Угол между отраженным лучом и горизонтом = \( 90° \).
34. Из закона отражения, если \( i \) — угол падения, \( r \) — угол отражения, то \( i = r \).
35. Угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу = \( i \).
36. Угол между отраженным лучом и нормалью к зеркалу = \( r \).
37. Угол между падающим лучом и горизонтом = \( 32° \).
38. Угол между отраженным лучом и горизонтом = \( 90° \).
39. Угол между зеркалом и горизонтом = \( \theta \).
40. Угол между нормалью к зеркалу и горизонтом = \( 90° - \theta \).
41. Угол падения \( i \) = Угол между падающим лучом и нормалью.
42. Угол отражения \( r \) = Угол между отраженным лучом и нормалью.
43. Рассмотрим угол между падающим лучом и зеркалом. Он равен \( 90° - 32° = 58° \).
44. Рассмотрим угол между отраженным лучом (вертикаль) и зеркалом. Он равен \( 90° - 90° = 0° \) (если луч падает на зеркало, расположенное горизонтально), или \( \theta \) (если зеркало наклонено).
45. Угол между зеркалом и горизонтом = \( \theta \).
46. Угол между падающим лучом и зеркалом = \( 90° - 32° = 58° \).
47. Угол между отраженным лучом (вертикаль) и зеркалом = \( 90° - \theta \) (угол между вертикалью и наклонной линией).
48. Угол падения \( i \) = \( 90° - \text{угол между падающим лучом и зеркалом} \) = \( 90° - 58° = 32° \) — это НЕВЕРНО.
49. Угол падения — это угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу.
50. Угол между падающим лучом и горизонтом = \( 32° \).
51. Угол между зеркалом и горизонтом = \( \theta \).
52. Угол между падающим лучом и зеркалом = \( 90° - 32° = 58° \).
53. Угол между нормалью к зеркалу и горизонтом = \( 90° - \theta \).
54. Угол падения \( i \) = \( |(90° - \theta) - 32°| \) (если падающий луч ниже нормали) или \( |(90° - \theta) + 32°| \) (если падающий луч выше нормали).
55. Отраженный луч идет вертикально. Угол между отраженным лучом и горизонтом = \( 90° \).
56. Угол между отраженным лучом и зеркалом = \( |90° - \theta| \).
57. Угол отражения \( r \) = \( |(90° - \theta) - 90°| = |-\theta| = \theta \) (если нормаль между лучом и вертикалью).
58. Значит, \( i = r \)
59. \( |(90° - \theta) - 32°| = \theta \)
60. Рассмотрим случай, когда нормаль к зеркалу находится между падающим лучом и отраженным лучом.
61. Угол между зеркалом и горизонтом = \( \theta \).
62. Угол между падающим лучом и горизонтом = \( 32° \).
63. Угол между отраженным лучом и горизонтом = \( 90° \).
64. Угол между зеркалом и падающим лучом = \( 90° - 32° = 58° \).
65. Угол между зеркалом и отраженным лучом (вертикаль) = \( 90° - 90° = 0° \) (если зеркало горизонтально).
66. Угол между зеркалом и отраженным лучом (вертикаль) = \( \theta \) (угол между наклонной линией и вертикалью).
67. Значит, \( 58° + 0° \) не равно \( 2 \cdot \theta \)
68. Рассмотрим случай, когда отраженный луч вертикально вверх.
69. Угол падения \( i \) = Угол отражения \( r \).
70. Угол между падающим лучом и горизонтом = \( 32° \).
71. Угол между отраженным лучом и горизонтом = \( 90° \).
72. Пусть \( \theta \) — угол наклона зеркала к горизонту.
73. Угол между нормалью к зеркалу и горизонтом = \( 90° - \theta \).
74. Угол падения \( i \) = угол между падающим лучом и нормалью.
75. Угол отражения \( r \) = угол между отраженным лучом и нормалью.
76. Рассмотрим угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу.
77. Угол между падающим лучом и зеркалом = \( 90° - 32° = 58° \).
78. Угол между нормалью и зеркалом = \( 90° \).
79. Угол падения \( i \) = \( 90° - (58° - \theta) \) = \( 32° + \theta \) (если падающий луч ниже нормали).
80. Угол между отраженным лучом (вертикаль) и зеркалом = \( \theta \).
81. Угол отражения \( r \) = \( 90° - \theta \).
82. \( i = r \) => \( 32° + \theta = 90° - \theta \)
83. \( 2\theta = 90° - 32° = 58° \)
84. \( \theta = 29° \).
85. Проверим:
86. Если \( \theta = 29° \), то угол между зеркалом и горизонтом = \( 29° \).
87. Угол между нормалью и горизонтом = \( 90° - 29° = 61° \).
88. Падающий луч под углом \( 32° \) к горизонту.
89. Угол падения = угол между падающим лучом и нормалью.
90. Угол между падающим лучом и нормалью = \( 61° - 32° = 29° \).
91. Отраженный луч — вертикально вверх.
92. Угол между отраженным лучом и нормалью = \( 90° - 61° = 29° \).
93. Угол падения = Угол отражения = \( 29° \).
94. Следовательно, угол наклона зеркала к горизонту равен \( 29° \).

Ответ: 29°