4. Сторона АВ треугольника АВС продолжена за точку В. На продолжении отмечена точка D так, что BC=BD. Найдите величину угла, BCD если угол АСВ равен 60°, а угол ВАС равен 50.

Дано:

• Треугольник ABC.
• Точка D на продолжении стороны AB за точку B.
• BC = BD.
• \[ \angle ACB = 60^{\circ} \]
• \[ \angle BAC = 50^{\circ} \]

Найти: \[ \angle BCD \]

1. Найдем \[ \angle ABC \]: Сумма углов треугольника равна 180°. В треугольнике ABC: \[ \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ACB = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 60^{\circ} = 70^{\circ} \]
2. Рассмотрим треугольник BCD: Так как BC = BD, то треугольник BCD — равнобедренный. Углы при основании BD равны.
3. Найдем \[ \angle BDC \] и \[ \angle BCD \]: Угол ABC является внешним углом для треугольника BCD. Угол CBD является смежным к углу ABC. Значит, \[ \angle CBD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \].
4. В равнобедренном треугольнике BCD, углы при основании равны: \[ \angle BDC = \angle BCD \].
5. Сумма углов в треугольнике BCD: \[ \angle CBD + \angle BDC + \angle BCD = 180^{\circ} \] \[ 110^{\circ} + 2 \cdot \angle BCD = 180^{\circ} \] \[ 2 \cdot \angle BCD = 180^{\circ} - 110^{\circ} \] \[ 2 \cdot \angle BCD = 70^{\circ} \] \[ \angle BCD = 35^{\circ} \]

Ответ: 35°