4. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны 4 см и \(4\sqrt{3}\) см. Плоскость, проходящая через вершины А, В, и С, образует с плоскостью основания угол \(60^{\circ}\). Найдите объём параллелепипеда.

Решение:

Объём параллелепипеда находится по формуле \( V = S_{\text{осн}} \cdot H \), где \( S_{\text{осн}} \) — площадь основания, а \( H \) — высота параллелепипеда.

1. Основание — прямоугольник со сторонами \( a = 4 \text{ см} \) и \( b = 4\sqrt{3} \text{ см} \).
2. Площадь основания \( S_{\text{осн}} = a \cdot b = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \).
3. Плоскость \( ABC \) образует с плоскостью основания угол \( 60^{\circ} \). В прямоугольном параллелепипеде это означает, что угол между боковой гранью \( ADD_1A_1 \) (или \( BCC_1B_1 \)) и плоскостью \( ABC \) равен \( 60^{\circ} \).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AA_1C \), где \( AA_1 \) — высота параллелепипеда \( H \), \( AC \) — диагональ основания. Угол \( \angle ACA_1 = 60^{\circ} \).
5. Диагональ основания \( AC = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 16 \cdot 3} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \).
6. Найдем высоту \( H \): \( H = AC \cdot \tan{60^{\circ}} = 8 \text{ см} \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ см} \).
7. Теперь найдём объём параллелепипеда: \( V = S_{\text{осн}} \cdot H = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \cdot 8\sqrt{3} \text{ см} = 128 \cdot 3 = 384 \text{ см}^3 \).

Ответ: 384 см³.