2. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой образует с плоскостью основания угол 60°, а сторона основания равна 8 см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

V = (1/3) * S_осн * h

где S_осн — площадь основания, а h — высота пирамиды.

1. Площадь основания (S_осн):

Пирамида правильная четырёхугольная, значит, в основании лежит квадрат. Сторона основания равна 8 см.

S_осн = сторона² = 8² = 64 см²

2. Высота пирамиды (h):

Для нахождения высоты нам понадобится информация о боковом ребре и угле между боковым ребром и плоскостью основания.

В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания. Центр квадрата — это точка пересечения диагоналей. Пусть вершина пирамиды — P, центр основания — O, а одна из вершин основания — A. Тогда PO — это высота (h), PA — боковое ребро, а угол PAO — это угол между боковым ребром и плоскостью основания, который равен 60°.

Диагональ квадрата со стороной 8 см равна:

d = сторона * √2 = 8√2 см

Радиус описанной окружности (расстояние от центра до вершины квадрата) равен половине диагонали:

AO = d / 2 = (8√2) / 2 = 4√2 см

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник PAO. У нас есть катет AO и угол PAO.

tg(PAO) = PO / AO

tg(60°) = h / (4√2)

Мы знаем, что tg(60°) = √3.

√3 = h / (4√2)

Выразим высоту h:

h = √3 * 4√2 = 4√6 см

3. Объём пирамиды (V):

Теперь подставим найденные значения в формулу объёма:

V = (1/3) * S_осн * h

V = (1/3) * 64 см² * 4√6 см

V = (64 * 4√6) / 3

V = 256√6 / 3 см³

Ответ: 256√6 / 3 см³