4. Тип 11 № 11340 Можно ли обойти все рёбра октаэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз?

Анализ задачи:

Это снова задача на поиск Эйлерова пути (или цикла) в графе, представляющем собой октаэдр.

Теория:

Граф имеет Эйлеров путь, если он связный и количество вершин с нечётной степенью равно 0 или 2.

Октаэдр:

Октаэдр — это правильный многогранник, имеющий 6 вершин и 12 рёбер. В вершинах октаэдра сходятся по 4 ребра (кроме двух вершин, где сходятся по 4 ребра, а две вершины являются полюсами, откуда выходит по 4 ребра, каждая вершина грани имеет степень 4).

Подсчет степеней вершин:

• У октаэдра 6 вершин.
• Каждая вершина октаэдра соединена с 4 другими вершинами (степень каждой вершины равна 4).

Вывод:

Так как у октаэдра 0 вершин с нечётной степенью (все степени равны 4 — это чётное число), то существует Эйлеров цикл, то есть можно обойти все рёбра октаэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз и вернувшись в исходную вершину.

Ответ: да