4. Тип 16 № 8315 i Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если LABC = 32°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Задание 4

Дано:

• Треугольник ABC.
• Биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна стороне AC.
• \( \angle ABC = 32^\circ \)

Найти: \( \angle CAB \)

Решение:

1. Обозначим внешний угол при вершине B как \( \angle CBF \).
   Угол ABC и угол CBF являются смежными, поэтому их сумма равна 180°: \( \angle ABC + \angle CBF = 180^\circ \).
2. Найдем величину внешнего угла:
   \( 32^\circ + \angle CBF = 180^\circ \)
   \( \angle CBF = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \).
3. Пусть BD - биссектриса внешнего угла CBF.
   Это означает, что BD делит угол CBF на два равных угла: \( \angle CBD = \angle DBF \).
4. Найдем величину угла DBF:
   \( \angle DBF = \frac{\angle CBF}{2} = \frac{148^\circ}{2} = 74^\circ \).
5. По условию, биссектриса BD параллельна стороне AC.
   \( BD \parallel AC \).
6. Рассмотрим прямую BC как секущую, пересекающую параллельные прямые BD и AC.
   Угол DBF и угол BCA (или \( \angle ACB \)) являются накрест лежащими углами. Следовательно, \( \angle DBF = \angle ACB \).
7. \( \angle ACB = 74^\circ \).
8. Теперь рассмотрим прямую AB как секущую, пересекающую параллельные прямые BD и AC.
   Угол ABD и угол CAB (или \( \angle BAC \)) являются накрест лежащими углами. Следовательно, \( \angle ABD = \angle CAB \).
9. Найдем величину угла ABD.
   \( \angle ABD = \angle DBF = 74^\circ \).
10. Следовательно, \( \angle CAB = 74^\circ \).

Ответ: 74